利用导数研究函数的极值

3．3.2利用导数研究函数的极值已知函数f(x)=2x3-6x2+7(1)求f(x)的单调区间,并画出其大致图象;【复习与思考】(2)函数f(x)在x＝0和x＝2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?20xy极值点与极值的概念已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值，和统称为极值点．f(x)f(x0)y极大值＝f(x0)f(x)f(x0)y极小值＝f(x0)极大值点极小值点yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)极值是一个局部概念,反映了函数值在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?)(1xfxyabx1x2x3x4)(4xfO)(2xf)(3xf问题探究yxOx1x2aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0极值点两侧导数(1)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,那么f(x0)是极大值【函数的极值与导数的关系】(2)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,那么f(x0)是极小值2()4fxx=，例1求函数的极值。31()443fxxx=解：令()0fx=，解得2x=。列表如下：↗↘↗()fx()fx,22,22,22x所以函数有极大值，极小值。28(2)3f=4(2)3f=类型一求函数的极值（1）求导数f/(x)；（2）解方程f/(x)=0求得所有实数根（3）通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.【求函数极值的步骤】变式1求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝lnxx.解：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)10－22因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－lnxx2，令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)1e因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝1e，没有极小值.[例2]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10.求常数a，b的值．[思路点拨]由函数f(x)在x＝1处有极值10，可得f′(1)＝0且f(1)＝10，由此列出方程求a，b的值，但还要注意检验求出的a，b的值是否满足函数取得极值的条件．[精解详析]f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得f1＝10，f′1＝0，即1＋a＋b＋a2＝10，3＋2a＋b＝0，类型二已知函数极值求参数解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去；而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.[一点通]已知函数极值，确定函数的解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．变式2如果函数)0()(35=acbxaxxf在1=x时有极值，且极大值为4，极小值为0，试求cba,,的值.课堂小结1、求函数极值的步骤：（1）求导数f/(x)；（2）解方程f/(x)=0求得所有实数根（3）通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.2、已知函数极值，确定函数的解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．当堂练习1、)(0xf=0是函数)(xf在点0x处取得极值的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件2、设2=x与4=x是bxaxxxf=23)(的两个极值点，则系数a，b分别为（）A.4,2==baB.24,3==baC.3,1==baD.4,2==ba3、函数331xxy=有（）A.极小值-1，极大值1B.极小值-2，极大值3C.极小值-2，极大值2D.极小值-1，极大值34、如果函数xfy=的图象如图，那么导函数xfy=的图象可能是()5、求函数5123223=xxxy在区间3,0上的最大值和最小值.