导数的实际应用课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·选修2-2导数及其应用第一章1.3导数的应用第3课时导数的实际应用第一章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习•低碳生活(lowcarbonlife)可以理解为减少二氧化碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的生活．低碳生活节能环保，势在必行．现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长．•如何使汽油的使用效率最高？•1.求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤•(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有使________＝0的点．•(2)计算函数f(x)在区间内使______＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为______，最小的一个为______．2．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定是函数的最大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f(x)＝1x在区间[－1,1]上有最值．()答案：1.(1)f′(x)(2)f′(x)最大值最小值2．(1)×(2)√(3)ו一、最优化问题•在经济生活中，为使经营利润最大，生产效率最高或为使用料最省，消耗最少等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这都是最优化问题．•注意：(1)最优化问题有时也可以称为最值问题，解决与函数最值有关的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系式，并确定函数的定义域．(2)解决最优化问题的方法很多，如判别式法、基本不等式法、线性规划的方法及利用函数的性质法等．不少最优化问题可以化为求函数的最值问题，而导数方法是解决这类问题的有效方法．货车欲以xkm/h的速度行驶到130km远的某地．按交通法则，车辆行驶速度的允许范围是50≤x≤100.假设汽油的价格为2元/L，而汽车耗油的速率是(2＋x2360)L/h，司机的工资是14元/h，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？[解析]汽车运行的时间为130xh，耗油量为130x·(2＋x2360)L，耗油费用为2·130x·(2＋x2360)元，司机的工资为14·130x元．故这次行车的总费用为y＝2·130x·(2＋x2360)＋14·130x＝130(x180＋18x)，所以y′＝130(1180－18x2)．令y′＝0，解得x＝1810或x＝－1810(舍去)．因为50≤x≤100，所以x＝1810≈57km/h.故最经济的车速为57km/h，最低费用为130×(1810180＋181810)≈82.2元．二、利用导数解决生活中优化问题的步骤(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)，再根据实际问题确定函数y＝f(x)的定义域．(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出定义域内所有的实数根．(3)通过单调性确定出函数的最值点及最值．注意：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在解决实际最优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域．•将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截能使正方形与圆的面积之和最小？[解析]设弯成圆的一段铁丝长为x(0x100)，则另一段长为100－x，从而正方形的边长为100－x4，圆的半径r＝x2π，记正方形与圆的面积之和为S，所以S＝π(x2π)2＋(100－x4)2＝x24π＋10000－200x＋x216(0x100)，则S′＝x2π＋x－1008.令S′＝x2π＋x－1008＝0，解得x＝100π4＋π.当0x100π4＋π时，S′0；当100π4＋πx100时，S′0.所以当x＝100π4＋π，即弯成圆的一段铁丝长为100π4＋πcm时，正方形与圆的面积之和最小．•三、解决最优化问题的类型与注意问题•1．利用导数解决最优化问题的基本思路：•在日常生活、生产建设和科技活动中，做一件事总要付出一定的代价，也总想取得一定的效果，在付出代价一定的条件下，我们总想取得最好的效果；在预期效果确定的情形下，我们总想只付出最小的代价．•2．生活中的最优化问题常见类型存在以下几类：•(1)利润最大问题，首先要找到销售价格、销售数量，由此可得销售收入，然后看单件成本及总成本，最后求得产生利润函数．•(2)用料最省问题，主要考虑几何体的侧面积，当然，要结合具体问题，看看上方有没有盖，下方有没有底，这些细节往往隐含在问题之中．用料最省往往也会以工程造价最低(不同的面造价会不同，实际问题可能要分开计算)的形式与大家见面．(3)容积最大问题．此类问题实际上是体积问题，首先要明白条件的给出方式，可能会将重要条件(比如：多面体的长、宽、高；旋转体的底面半径、高等)隐藏在表面积之中，其次，要注意几何体的特征，当几何体不规范时，可能还要进行“割”与“补”的技术处理．(4)效率最大问题．首先要清楚效率是如何求出的：效率＝产量时间，然后要紧紧抓住产量与生产时间，通过这个比产生结论．(5)增长率(最大或最小)问题．首先要抓住增长率＝现产量原产量－1，然后逐步求出原产量与现产量，最后得出结论．(6)运输费用最省问题．其实此类问题就是路程、时间、速度三者的关系问题，建立在时间与速度的基础上产生路程，根据路程产生运输费用最少或是油耗最小．•某单位用木料制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为8m2，问x，y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？[解析]依题意，有xy＋12·x·x2＝8，所以y＝8－x24x＝8x－x4(0x42)．于是框架用料长度为l＝2x＋2y＋2·2x2＝(32＋2)x＋16x，l′＝32＋2－16x2.令l′＝0，即32＋2－16x2＝0，解得x1＝8－42，x2＝42－8(舍去)．当0x8－42时，l′0；当8－42x42时，l′0.所以当x＝8－42时，l取得最小值，此时，x＝8－42≈2.343(m)，y≈2.828(m)．即当x约为2.343m，y约为2.828m时，用料最省．课堂典例探究•已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？•[分析]设比例系数为k，由题意先求出k，再列出关于全程燃料费y的关系式，利用导数求最值．•费用最省问题[解析]设每小时的燃料费为y1，比例系数为k，则y1＝kv2.当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122解得k＝5，∴y1＝5v2.∴全程的燃料费y＝y1·200v－8＝1000v2v－8(8v≤v0)．y′＝2000vv－8－1000v2v－82＝1000v2－16000vv－82.令y′＝0得v＝16或v＝0(舍去)．所以函数v＝16时取得极值，并且是极小值．当v0≥16时，v＝16使y最小．即全程燃料费最省．当v016时，可得y＝1000v2v－8在(8，v0]上递减，即当v＝v0时，ymin＝1000v20v0－8.综合上述得：若v0≥16，当v＝16km/h时，全程燃料费最省；若8v016，则当v＝v0时，全程燃料费最省．[注意]解决费用最省问题，也是导数的一个重要应用．解决这类问题，首先要选取合适的量为自变量，并确定其取值范围，然后将费用表示为自变量的函数，再利用导数求最值，使问题得到解决．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y＝1128000x3－380x＋8(0≤x≤120)，已知甲、乙两地相距100km.(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解析](1)当x＝40km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5h，要耗油1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)．∴当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5L.(2)当速度为xkm/h时，汽车从甲地到乙地行驶了100xh，设耗油量为h(x)L，依题意得h(x)＝1128000x3－380x＋8×100x＝11280x2＋800x－154，h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0≤x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)0，h(x)是增函数．∴当x＝80时，h(x)取得极小值．此时h(x)＝1128000×803－380×80＋8×54＝454＝11.25(L)．∴当汽车以80km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25L.•面积、体积最大问题已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．[分析]如图所示，设出AD的长，进而求出|AB|表示出面积S，然后利用导数求最值．[解析]设矩形边长AD＝2x，则|AB|＝y＝4－x2.∴矩形面积为S＝2x(4－x2)(0x2)，即S＝8x－2x3.所以S′＝8－6x2.令S′＝0，解得x1＝23，x2＝－23(舍去)．当x23时，S′0；当x23时，S′0.所以当x＝23时，S取得最大值，此时，S最大＝3239，y＝83.即矩形的边长分别为433，83时，矩形的面积最大．[方法总结]本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长．•某村庄似修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V平方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．•(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；•(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解析](1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r0，又由h0可得r53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)0，故V(r)在(5,53)上为减函数．∴当r＝5时，V(r)＝V(5)＝200π(m3)，此时h＝8，即函数在该点取得最大值，故当r＝5，h＝8时，蓄水池的体积最大.•实际应用问题水库的蓄水量随时间而变化．现用t表示时间，以月为单位，年初为起点．根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)＝－t2＋14t－40e14t＋50，0t≤10，4t－103t－41＋50，10t≤12.(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期．以i表示第i月份(i＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e＝2