双曲线及其标准方程及其性质

双曲线的标准方程及其性质1.椭圆的定义和等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹。平面内与两定点F1、F2的距离的1F2F0,c0,cxyOyxM,|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)温故知新①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——双曲线的焦距.oF2F1M平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线。（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a2c,则轨迹是什么？思考：定义中的2a有何限制？为什么？（3）若2a=0,则轨迹是什么？||MF1|-|MF2||=2a(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线双曲线的定义概念加强1.动点P到点M(-2,0)的距离减去到点N(2,0)的距离之差为3，则点P轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线B2.动点P到点M(-2,0)的距离减去到点N(2,0)的距离之差的绝对值为4，则点P轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线c2222(3)(3)(3)4xyxy5)3()3()2(2222yxyx2222(4)(3)(3)6xyxy双曲线双曲线的右支x轴上分别以F1和F2为端点，指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。跟踪检测下列方程分别表示什么曲线?2222(1)(3)(3)10xyxy椭圆22221.(1).1(2).-1916916axyxy口答：分别指出下列双曲线的值和焦点坐标；；12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy(00)ab，答：谁的系数为正，焦点就在哪个轴上。思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？||MF1|-|MF2||=2a22222(3)(3)4_______________________xyxy、双曲线化为标准方程为双曲线的标准方程22221_______________1_____________AxByAxBy若方程表示椭圆；若方程表示双曲线；思前想后点𝑷是双曲线221916xy-=的右支上的一点，𝑴是圆(𝒙+𝟓)𝟐+𝒚𝟐=𝟒上的一点，点𝑵的坐标为(𝟓,𝟎)，则|𝑷𝑴|−|𝑷𝑵|的最大值为（）A.𝟓B.𝟔C.𝟕D.𝟖双曲线的定义与方程D5．H6[2016·全国卷Ⅰ]已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1，3)B．(－1，3)C．(0，3)D．(0，3)A写出适合下列条件的双曲线的标准方程：1.焦点为(0,-6)、(0,6)，且经过点(2,5)；2.a=4，过点(1,)3.经过点4103(5,1),(35MN，）双曲线标准方程的求法求椭圆和双曲线标准方程的一般方法：几何定义法待定系数法模糊假设法焦点三角形已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为()A．23B．33C．22D．32A听课手册P140,例1(1).9．H6[2014·全国卷]已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.14B.13C.24D.23A焦点三角形基本思路：1.曲线定义；2.余弦定理；3.面积公式.4.双曲线的焦点三角形面积：2cot2Sb2、对称性研究双曲线的简单几何性质)0,0(12222babyax1、范围axaxaxax,,12222即关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)双曲线的性质3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。xyo-b1B2Bb1A2A-aa)0,()0,(21aAaA、顶点是如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长。12AA12BB（2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。（3）)0(22mmyx双曲线的性质M(x,y)双曲线的渐近线1A2A1B2BN(x,y’)Q:的位置关系它与xaby:的位置的变化趋势它与xaby的下方在xaby慢慢靠近，但永远不能达到。xyoxabyxabyab22(0)byxaxa双曲线在第一象限部分的方程为：xabybabyax的渐近线为双曲线)0,0(12222（1）（2）的渐近线为等轴双曲线)0(22mmyxxy利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图（3）双曲线的渐近线焦点在x轴上的双曲线的标准方程为：22221xyab我们把方程右端的1变为0，则有：22220xyab2222xyab2222byxabyxa焦点在y轴上的双曲线的标准方程为：22221yxab我们把方程右端的1变为0，则有：22220yxab2222yxab2222ayxbayxb焦点在y轴上的双曲线的渐近线1、若双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为。2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角为_________。4,3yx跟踪检测0605534或λ0表示焦点在x轴上的双曲线；λ0表示焦点在y轴上的双曲线。共渐近线的双曲线方程与有相同渐近线的双曲线方程我们可以假设为：22221xyab2222(0)xyab，为参数其中：为什么可以这样做？求与有相同渐近线，且过点的双曲线方程。221916xy(3,23)跟踪检测解：双曲线与有相同的渐近线，则可设其方程为：221916xy22(0)916xy所以912916解得14于是所求双曲线的方程为：224194xy解：椭圆的焦点在x轴上，且坐标为），（，，022)022(21FF双曲线的焦点在轴上，且xc22双曲线的渐近线方程为xy33bacabab33822222，而，解得：2622ba，双曲线方程为xy22621求与椭圆有相同焦点，渐近线方程为的双曲线方程。03yx221168xy跟踪检测由题意得双曲线的渐近线方程为，且其焦点在x轴上，则可设其方程为：03yx223xy(0)即：2213xy所以：16883解得：6于是，所求双曲线的标准方程为：22162xy已知离心率52e=的双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的右焦点为𝑭，𝑶为坐标原点，以𝑶𝑭为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于𝑶、𝑨两点,若𝜟𝑨𝑶𝑭的面积为1，则实数𝒂的值为（）A.𝟏B.𝟐C.𝟐D.𝟒渐近线的意义C:022ab3clbxayab=4a+b解:,双曲线离心率的求法双曲线的半焦距为c，直线l过点，原点到直线l的距离为，求双曲线的离心率。22221(0)xyabab(,0)(0,)ab、34c.42233e-16e+16=0e=2e=3则,解得,或22b0abe=1+2e=2a,则.7.【2017课标1，理】已知双曲线C：22221xyab（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.双曲线离心率的求法（1）根据条件得到关于a,b,c的方程表达式。（2）将b转化为a,c。（常两边平方）（4）得到离心率。（3）求出a,c之间的关系。（构造）ca求离心率的一般思路：直线与双曲线的位置关系思考：直线与双曲线可能有几个公共点？两个：一个：零个：相交与一支相切相交且与渐近线平行不相交不相切直线与双曲线的位置关系双曲线与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值。22194xy变式演练若过双曲线的右焦点F2作直线与双曲线的两支都相交，求直线l的倾斜角的取值范围。2213yx变式演练已知直线y=kx+2与双曲线的右支交于不同的两点，求k的取值范围。2213yx焦点弦与通径已知双曲线22221xyab,直线l过双曲线的左焦点,垂直于x轴交双曲线于A、B两点，则弦长||AB的值为_______22ba中点弦与弦长公式B