简单构造函数证明不等式

例1.求证:当x0时，1+2xe2x即把不等式问题等价转化为函数的最值问题。⇔f(x)0（在x0时）恒成立若令f(x)=1+2x-e2x分析:利用导数证明有关不等式:利用导数证明不等式，通常要构造函数，通过研究函数单调性及最值来证明•已知：x＞0，求证：x＞sinx.•[解析]设f(x)＝x－sinx(x＞0)•f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立•∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数•又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立•即：x＞sinx(x＞0)．补例：不等式证明问题；时，：求证：例111]2[xxexx1,111,11)1(xeexexxxxx即即原不等式证明：1'),1(,1xxexfxxexf则设.),0()0,1(.0)('),0(;0)(')0,1(上单调递增上单调递减，在在即时时当xfxfxxfx.1000min所以原不等式成立，即xexffxfx•[分析]假设构造函数f(x)＝ex－x-1.因f(0)＝e0－1－0＝0，如果能够证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以得到证明．1,04xexx求证：已知例题型四：利用导数证明不等式•[证明]令f(x)＝ex－x-1，•∴f′(x)＝ex－1•∵x＞0，∴ex＞e0＝1，∴ex－1＞0，即f′(x)＞0.•∴f(x)＝ex－x-1在(0，＋∞)上是增函数．•∵f(x)在x=0处连续且f(0)＝e0－1－0＝0，•∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，即ex－x-1＞0.•∴ex＞x+1.•[点评与警示]通过构造函数，利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x赋值，利用单调性证明不等式，这也是证明不等式的一种有效方法．下列不等式：利用函数单调性，证明,0,sin1xxx1,0,022xxx0,13xxex0,ln4xexxx0,122xaxxexfx证明：设axexfx22'则2','xexgxfxg则设.),2(ln2ln0.0'2ln;0',2ln0上单调递增上单调递减，在，在即时，当时当xgxgxxgx)2ln1(222ln22ln2lnminaaegxg所以上单调递增在),0(0'012lnminxfxfxgxga.120002axxefxfxx，即时符号无法判断！二次求导.120,12ln]2axxexax时，求证：已知：练习