菲涅耳公式

第2章光波在介质界面上的反射和折射(Thereflectionandrefractionoflightwaveintheinterfaceofmedium)由光的电磁理论可知，光在介质界面上的反射和折射，实质上是光与介质相互作用的结果，因而进行一般的理论分析非常复杂。在这里，采用简化的处理方法，不考虑光与介质的微观作用，只根据麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件进行讨论。2.1反射定律和折射定律(Reflectionlawandrefractionlaw))(0i,r,t(119)lltillEEelkr－－现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面光波,其电场表示式为12kiktkrOnz界面irtxxyrijr是界面上任意点的矢径，在上图所示的坐标情况下，有2.1反射定律和折射定律12kiktkrOnz界面irtx根据电磁场的边界条件，可得irtirit(120)()0(121)()0(122)kkrkkr①入射光、反射光和折射光具有相同的频率；②入射光、反射光和折射光均在入射面内，ki、kr和kt波矢关系如图所示。2.1反射定律和折射定律iiiirrrrttttexpiexpiexpiEAtEAtEAtkrkrkr反射定律和折射定律（三种光传播方向的关系）代入边值关系，该式总是成立，故irtnEEnE)(0i,r,t(119)lltillEEelkr－－irtirit(120)()0(121)()0(122)kkrkkr进一步，根据图所示的几何关系，可得可由（121）式和（122）式得到iiriittsinsin(123)sinsin(124)rkkkkBACn1n2Okrkikt分界面tir2.1反射定律和折射定律irit()0(121)()0(122)kkrkkriiriittsinsin(125)sinsin(126)rnnnn又因为，可将上二式改写为/knc这就是介质界面上的反射定律和折射定律，折射定律又称为斯涅耳（Snell）定律。2.1反射定律和折射定律2.2菲涅耳公式(Fresnelformula)光的电磁理论除了给出描述光在界面上传播方向的反射定律和折射定律外，还给出入射光、反射光和折射光之间的振幅、相位关系。BACn1n2Okrkikt分界面tir1.s分量和p分量通常把垂直于入射面振动的分量叫做s分量，把平行于入射面振动的分量叫做p分量。为讨论方便起见，规定s分量和p分量的正方向如图所示。ktkrkiO212ErsErpErsErpErpErsn1n21.s分量和p分量xyzo1pE1sH1pE1sH2pE2sH2.反射系数和透射系数假设介质中的电场矢量为)i(0i,r,t127lltllEEelkr－－()其s分量和p分量表示式为)i(0s,p128lltlmlmEEemkr－－（）2.反射系数和透射系数)i(0s,p128lltlmlmEEemkr－－（）则定义s分量、p分量的反射系数、透射系数分别为0000(129)(130)rmmimtmmimErEEtE3.菲涅耳公式假设界面上的入射光、反射光和折射光同相位,根据电磁场的边界条件及s分量、P分量的正方向规定，可得isrsts(131)EEEip1rp1tp2coscoscos(132)HHH和利用，上式变为HEisrs11ts22()coscos(133)EEnEn3.菲涅耳公式再利用折射定律，并由（131）式和（133）式消去Ets，经整理可得rs21is21sin()sin()EEisrsts(131)EEEisrs11ts22()coscos(133)EEnEn12s12sin()(134)sin()r=-将（128）式代入上式，利用（121）式关系，并根据反射系数定义，得到3.菲涅耳公式)i(0s,p128lltlmlmEEemkr－－（）rs21is21sin()sin()EEir()0(121)kkr00(129)rmmimErE由（134）式和（133）式消去Ers，经运算整理得11s11222cos(135)coscosntnn=-3.菲涅耳公式12s12sin()(134)sin()r=-isrs11ts22()coscos(133)EEnEn利用类似方法，可以推出p分量的反射系数和透射系数表示式，这就是著名的菲涅耳公式：1211221211221211121122sin()coscos=(136)sin()coscos2cossin2cos=(137)sin()coscosssnnrnnntnn122112122112211112122112()coscos=(138)()coscos2sincos2cos=(139)sin()cos()coscospptgnnrtgnnntnn3.菲涅耳公式isrsts+=(2)HHHip1rp1tp2coscoscos(1)EEE00(3)rrHEHE且透明介质有1r因此上面（2）式可变为由边界条件,各切向分量之间关系可表示为根据010102iprptp000rrrEEE即1ip1rp2tprrrEEE1ip1rp2tp(3)nEnEnE联立(1)和(3),并代入1122sinsinnn得p分量振幅反射比:rp12pip12()()EtgrEtg振幅透射比:ip1rp1tp2coscoscos(1)EEE21p12122sincossin()cos()tpipEtE如果已知界面两侧的折射率n1、n2和入射角1，就可由折射定律确定折射角2，进而可由上面的菲涅耳公式求出反射系数和透射系数。3.菲涅耳公式1211221211221211121122sin()coscos=(136)sin()coscos2cossin2cos=(137)sin()coscosssnnrnnntnn122112122112211112122112()coscos=(138)()coscos2sincos2cos=(139)sin()cos()coscospptgnnrtgnnntnn下图绘出了在、n1n2和n1n2两种情况下，反射系数、透射系数随入射角1的变化曲线。3.菲涅耳公式10306090-1.0-0.500.51.0tptsrprsB56.3n1=1.0,n2=1.510306090-1.0-0.500.51.0rprsB33.7n1=1.5,n2=1.0C41.8010203040500.00.40.81.21.62.02.42.83.2rsrptstp3.菲涅耳公式n1=1.5,n2=1.02.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)菲涅耳公式给出了入射光、反射光和折射光之间的场振幅和相位关系。现在，进一步讨论反映它们之间能量关系的反射率和透射率。在讨论过程中，不计吸收、散射等能量损耗，因此，入射光能量在反射光和折射光中重新分配，而总能量保持不变。2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)若有一个平面光波以入射角1斜入射介质分界面，平面光波的强度为Ii，则每秒入射到界面上单位面积的能量为ii1cosWI考虑到光强表示式，上式可写成21i0i101cos(140)2WE220012IEE02.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)类似地，反射光和折射光的能量表示式为21r0r101cos141)2WE（22t0t201cos142)2WE（2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)由此可以得到反射率、透射率分别为2riWRrW2t22i11coscosWnTtWn将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中s分量和p分量的反射率和透射率的表示式分别为2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)2212ss212sin()(145)sin()Rr2212pp212tan()(146)tan()Rr22212ss21112cossin2sin2(147)cossin()nTtn22212pp22111212cossin2sin2(148)cossin()cos(nTtn）2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)由上述关系式，显然有1ssRT1ppRT2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)综上所述，光在界面上的反射、透射特性由三个因素决定:入射光的偏振态，入射角，界面两侧介质的折射率。2212ss212sin()(145)sin()Rr22212ss21112cossin2sin2(147)cossin()nTtn10900%50%100%RpRsRnn1n2RB10900%50%100%RpRsn1n2RBC2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)下图给出了按光学玻璃(n=1.52)和空气界面计算得到的反射率R随入射角1变化的关系曲线。①一般情况下，，即反射率与偏振状态有关。在小角度（正入射）和大角度（掠入射）情况下，。spRRspRR2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)10900%50%100%RpRsRnn1n2RB10900%50%100%RpRsn1n2RBC在正入射时，221sp21(149)nnRRnn相应有21sp2214(150)()nnTTnn在掠入射()时，。spRR10s902.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)221s21(149)nnRnn11221122coscos(136)coscossnnrnn2ss(145)Rr在正入射时，1=2=021s2214(150)()nnTnn2t22i11coscosWnTtWn1111222cos=(137)coscossntnn在正入射时，1=2=0当光以某一持定角度1=B入射时，Rs和Rp相差最大，且Rp=0，在反射光中不存在p分量。10900%50%100%RpRsRnn1n2RB10900%50%100%RpRsn1n2RBC2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)此时，根据菲涅耳公式有B+2=900，即该入射角与相应的折射角互为余角。利用衍射定律，可得该特定角度满足2B1tan(151)nn2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)该角B称为布儒斯特角。例如，当光由空气射向玻璃时，n1=1，n2=1.52，布儒斯特角为B=56040。22122112pp2122112tan(