解三角形：三角形中的几何计算

三角形中的几何计算1．几何计算问题在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则(1)ha＝bsinC＝_______；(2)hb＝csinA＝________；(3)hc＝asinB＝________.(4)S＝12absinC＝12acsinB＝_________.新知初探csinBasinCbsinA12bcsinA2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有：(1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)；(2)A＋B＋C＝π；(3)S＝12aha(ha表示a边上的高)；(4)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(5)S＝abc4R(可用正弦定理推得)；(6)S＝2R2sinA·sinB·sinC(R是三角形外接圆半径)；(7)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)；(8)S＝pp－ap－bp－c[p＝12(a＋b＋c)]．1．运用三角形面积公式时应注意哪些问题？提示：(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数的有关公式．(2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式．(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和．类型一三角形中的面积计算[例1]在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝6，cosA＝78，求△ABC的面积．解：∵b2－bc－2c2＝0.∴b＝2c或b＝－c(舍去)．由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－74bc＝6.与b＝2c联立，得b＝4，c＝2，∵cosA＝78，∴在△ABC中，sinA＝1－cos2A＝158.∴S△ABC＝12bcsinA＝152.典例导悟[点评]本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用．求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．类型二三角形中线段长度的计算[例2]在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为72，求边长a.[分析]由题目可获取以下主要信息：①c＝4，b＝7.②AD为中线且AD＝72.解答本题可先令CD＝DB＝x.在△ACD和△ACB中，∠ACB是公共角，两次使用余弦定理，便可求出x.[解]如图所示，∵AD是BC边上的中线，∴可设CD＝DB＝x，则CB＝a＝2x.∵c＝4，b＝7，AD＝72，在△ACD中，有cosC＝72＋x2－7222×7×x，在△ABC中，有cosC＝72＋2x2－422×7×2x.∴72＋x2－7222×7×x＝72＋2x2－422×7×2x.解得x＝92.∴a＝2x＝9.变式训练2如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．解：在△ACD中，由余弦定理，得cosC＝AC2＋CD2－AD22AC·CD＝72＋32－522×7×3＝1114.∵C为三角形的内角，∴C∈(0，π)，∴sinC＝1－cos2C＝1－11142＝5314.在△ABC中，由正弦定理，得ABsinC＝ACsinB，∴AB＝AC·sinCsinB＝7×5314sin45°＝562.类型三三角形中的综合问题[例3]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝34(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．[分析]利用面积公式求角C，再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式化简求最大值．(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin(π－A－π3)＝sinA＋sin(2π3－A)＝sinA＋32cosA＋12sinA＝3sin(A＋π6)≤3(0A2π3)．当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号．所以sinA＋sinB的最大值为3.[解](1)由题意可知12absinC＝34×2abcosC.所以tanC＝3，因为0Cπ，所以C＝π3.[点评](1)本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．(2)此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定理，掌握三角函数的公式和性质．易错点：忽略三角形中角的限制而导致错误在解三角形问题时，应注意A＋B＋C＝180°，且A0°，B0°，C0°.[错题展示]在△ABC中，C＝3B，求cb的取值范围．自我纠错[解]由正弦定理，得cb＝sinCsinB＝sin3BsinB＝sinB＋2BsinB＝sinBcos2B＋cosBsin2BsinB＝cos2B＋2cos2B＝4cos2B－1.∵0≤cos2B≤1，∴－1≤4cos2B－1≤3，∴0cb≤3.[例题]在△ABC中，C＝3B，求cb的取值范围．[错解分析]由A＋B＋C＝180°及C＝3B得出B的取值范围，不可忽略．[正解]由正弦定理，得cb＝sinCsinB＝sin3BsinB＝sinB＋2BsinB＝sinBcos2B＋cosBsin2BsinB＝cos2B＋2cos2B＝4cos2B－1.∵A＋B＋C＝180°，C＝3B，∴0°B45°，即22cosB1.∴12cos2B1，故1cb3.[反思]由A＋B＋C＝180°及C＝3B得出B的取值范围，不可忽略．1．解决三角形中计算问题的关键是转化为求三角形中的边或角，再分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素．通常情况下，求线段的长转化为求三角形的边长，求角的大小转化为求三角形的角的大小．思悟升华2．对于既可用正弦定理又可用余弦定理解的三角形，用正弦定理计算相对简单，但要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时，若选择用正弦定理去计算较小的边所对的角，可避开分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接判断出所求角是锐角还是钝角，但计算复杂，所以，在使用正、余弦定理解三角形时，要注意比较它们的异同点，灵活选用定理解题．利用正、余弦定理不仅能求角的函数值，反过来，还能求角的大小．3．解三角形广泛应用于各种平面图形，如菱形、梯形、平行四边形、扇形及一些不规则图形，处理时，可通过添加适当的辅助线，将问题纳入到三角形中去解决．以三角形为载体借助正、余弦定理还可以解决三角函数的求值问题．以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．1．在△ABC中，已知C＝60°，b＝43，则BC边上的高等于()A.3B．23C．43D．6解析：BC边上的高等于bsinC＝6.答案：D2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°解析：由12×BC×ACsinC＝33，得12×4×3sinC＝33，所以sinC＝32.所以C＝60°或120°.又△ABC是锐角三角形，所以C＝60°.答案：B3．在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝3:5:7，且周长为30，则S△ABC＝()A.15314B.13314C．133D．153解析：由正弦定理知，sinA:sinB:sinC＝a:b:c＝3:5:7.设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k＞0)，又a＋b＋c＝30，∴k＝2，即三边长为a＝6，b＝10，c＝14.∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝1314，sinA＝3314.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×10×14×3314＝153.答案：D•求距离问题要注意：•(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．•(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．某单位在抗雪救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的C、D两地(A、B、C、D在同一平面上)，测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6000m，∠BCD＝30°，根据正弦定理BD＝CDsin30°sin135°＝22CD.又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根据勾股定理有AB＝AD2＋BD2＝23＋12CD＝100042(m)，实际所需电线长度约为1.2AB≈7425.6(m)．解析：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6000m，∠ACD＝45°，根据正弦定理AD＝CDsin45°sin60°＝23CD，•测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决．•如图，测量河对岸的塔形建筑AB，A为塔的顶端，B为塔的底端，河两岸的地面上任意一点与塔底端B处在同一海拔水平面上，现给你一架测角仪(可以测量仰角、俯角和视角)，再给你一把尺子(可以测量地面上两点间距离)，图中给出的是在一侧河岸地面C点测得仰角∠ACB＝α，请设计一种测量塔建筑高度AB的方法(其中测角仪支架高度忽略不计，计算结果可用测量数据所设字母表示)．解析：方法一：选择水平基线BC，在BC的延长线上取一点D，在D点测得仰角∠BDA＝β，同时测得CD的长度为a.在△ADC中∠DAC＝α－β，在△ADC中，由正弦定理ACsinβ＝DCsinα－β，∴AC＝asinβsinα－β.在Rt△ACB中，AB＝AC·sinα＝asinβsinα－βsinα.方法二：在BC的延长线上找一点D，使得在D点测得仰角∠ADB＝α2.又测得DC的长为m.在△ADC中，∠ADC＝α2，∠DAC＝α－α2＝α2.∴DC＝AC＝m，在Rt△ACB中，AB＝ACsinα＝msinα.方法三：如图，在河的这岸抽取一点D，测得CD＝b，并测∠BCD＝γ，∠BDC＝β.在△BCD中，∠CBD＝π－γ－β.由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，∴BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝b·sinβsinβ＋γ.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝b·sinβtanαsinβ＋γ.•测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值．如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？解析：如图所示，连结A1B2，由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝102，由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，B1B22＝A1B12＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B1B2＝102.因此，乙船的速度的大小为10220×6