2013年南京市高三数学第一次调研考试

2013南京一摸高三数学考试第1页2013年南京市高三数学第一次调研考试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在相应的位置上）1.已知复数iz，则zi1的虚部为2.设集合1,22yxyx，xyyxln,，则A∩B的子集的个数是3.已知点A和点B分别为椭圆C:)0(1222aayx的左顶点和上顶点，若直线AB的倾斜角的正弦值为21,则a=4.如图，运行右边的算法流程，当输出的y值为11时，则对应输入的x值为5.某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例4﹕5：1，其中青年教师有120人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为6.设0x，则2213xx是2413xx的条件7.用ba,max表示ba,两数中的最大值；若函数txxxflg,lgmax)(的图像关于直线2x对称，则t的值为8na为等差数列,ns为其前n项和，若)(1,1nmnsmsmn，则mns=9.已知m,n,l是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，有下列命题:①.若直线l上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l∥；②.设m,n是两条异面直线，若nm,∥nlml,，,则l；③.若nmm,，则n∥;④.若m,n是两条异面直线，且m,n都平行于平面α和平面β，则α和β相互平行；⑤.若在平面α内有不共线的四点到平面β的距离相等，则α∥β；其中所有真命题的序号是10.已知AB、MN为圆C：9222yx的两条相互垂直的弦，垂足为Ra,3，若四边形ABMN的面积的最大值为14，则a=11.O是△ABC外接圆的圆心，AB=1，AC=2，且0,84xRxACxABxAO且，则△ABC的边长BC=开始输入xx≤-2y=2x-4x≤2y=x3y=x+6输入y开始YYNYYYNY2013南京一摸高三数学考试第2页12.设a,b是正实数，记33233332249,4949,ababaababababaaG，则G的最大值是13.若有20，则22tan3tan)sin(tancoscos4tan的最小值是14.设函数2323)(ttxxht，若有且仅有一个正实数x0，使得)()(004xhxht对任意的正实数t成立，则x0=二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）设向量)3cos(),3sin(xxa，)65sin/(),65cos(b若函数)20()(baxf在3x处取得最大值。（1）求函数f(x)在,0上的单调递增区间；（2）已知A为△ABC的内角，若41)(Af，求2Af的值。16.(本小题满分14分)如图，在四面体A-BCD中，有CB=CD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F分别为BD，AB的中点，MN∥平面ABD。求证：（1）平面ABD⊥平面EFC；（2）直线MN∥直线GH。BFEAHDGCNM2013南京一摸高三数学考试第3页17.（本小题满分14分）已知某品牌汽车的市场需求量1y（万辆），市场供应量2y（万辆），与市场价格x（万元∕辆）之间分别近似地满足下列的关系：)324(log21021xy和1222xy；当21yy时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量。（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）科学研究表明，汽车尾气的排放不但污染环境，加速全球变暖，而且过多的私家车增加了城市交通的压力，加大了能源的消耗；某政府为倡导低碳型生活方式，决定对该品牌汽车的销售征收附加税，每售出一辆该产品的汽车征收2万元的附加税，试求新的市场平衡价格和平衡需求量。18.（.本小题满分16分）已知圆M0106222ttxyx，椭圆C：12222byax（ab0）,若椭圆C与x轴的交点),5(0yA到其右准线的距离为310；点A在圆M外，且圆M上的点和点A的最大距离与最小距离之差为2。（1）求圆M的方程和椭圆C的方程；（2）设点P为椭圆C上任意一点，自点P向圆M引切线，切点分别为A、B，请试着去求PBPA的取值范围；（3）设直线系M：)(1sin)3(cosRyx；求证：直线系M中的任意一条直线l恒与定圆相切，并直接写出三边都在直线系M中的直线上的所有可能的等腰直角三角形的面积。2013南京一摸高三数学考试第4页19.（本小题满分16分）已知函数cxebxaxxxf)3()(23，其中Rcba、、。（1）当1c时，若0x和1x都是）xf(的极值点，试求）xf(的单调递增区间；（2）当1c时，若0723ba，且1x不是）xf(的极值点，求出a和b的值；（3）当0c且102ba时，设函数3)()(xfxh在点))1(,1(hM处的切线为l,若l在点M处穿过函数)(xh的图像（即动点在点M附近沿曲线)(xhy运动，经过点M时，从l的一侧进入另一侧），求函数)(xhy的表达式。20.(本小题满分16分)设正项数列nd的前n项和为ns，若0M，对MsNnn,恒成立，则称nd为收敛数列。已知数列na为等差数列，21a，公差d为质数；nb为等比数列，11b，公比q的倒数为正偶数，且满足5435432111bbbaaaa。（1）求数列na和nb的通项公式；（2）是判断数列nnba是否为收敛数列？若是，请证明；若不是请说明理由；（3）设)()1()1)(1(21Nnddddcnnn，试判断数列nc是否为收敛数列？若是，请证明；若不是请说明理由。