2013年高考数学热点专题专练专题四三角函数解三角形平面向量测试题理

-1-专题四三角函数、解三角形、平面向量测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f(x)＝lgsinπ4－2x的一个增区间为()A.3π8，7π8B.7π8，9π8C.5π8，7π8D.－7π8，－3π8解析由sinπ4－2x0，得sin2x－π40，∴π＋2kπ2x－π42π＋2kπ，k∈Z；又f(x)＝lgsinπ4－2x的增区间即sinπ4－2x在定义域内的增区间，即sin2x－π4在定义域内的减区间，故π＋2kπ2x－π43π2＋2kπ，k∈Z.化简得5π8＋kπx7π8＋kπ，k∈Z，当k＝0时，5π8x7π8，故选C.答案C2．若函数f(x)＝sinax＋3cosax(a0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为()A．(－13，0)B．(－π3，0)C.13，0D．(0,0)解析f(x)＝2sinax＋π3(a0)，∵T＝2πa＝1，∴a＝2π，∴f(x)＝2sin2πx＋π3，由2πx＋π3＝kπ，k∈Z，得x＝k2－16，k∈Z，当k＝1时，x＝13，故13，0是其一个对称中心，故选C.答案C3．已知函数f(x)＝asinx＋acosx(a0)的定义域为[0，π]，最大值为4，则a的值为()A．－3B．－22C．－2D．－4-2-解析f(x)＝asinx＋acosx＝2asinx＋π4，当x∈[0，π]时，x＋π4∈π4，5π4，∴sinx＋π4∈－22，1，由于a0，故2asinx＋π4∈[2a，－a]，即f(x)的最大值为－a，∴－a＝4，即a＝－4.故选D.答案D4．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0,0φπ)的图象向右平移2π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝32sin1211x－21π22＋1B．f(x)＝32sin1211x＋21π22＋12C．f(x)＝2sin1112x＋21π22－12D．f(x)＝32sin1211x＋5π22＋12解析图象平移之前与平移之后的A，ω，k都是相同的，由平移之后的图象可知2A＝3，∴A＝32，k＝12；T＝2×7π6－π4＝2πω，∴ω＝1211.设平移后的函数解析式为g(x)＝32sin1211x＋φ1＋12，将π4，2代入，得sin3π11＋φ1＝1，∴φ1＝2kπ＋5π22，k∈Z，取k＝0，则φ1＝5π22，故g(x)＝32sin1211x＋5π22＋12.-3-将其图象向左平移2π3个单位，得f(x)的解析式为f(x)＝32sin1211x＋2π3＋5π22＋12，即f(x)＝32sin1211x＋21π22＋12.故选B.答案B5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上都不对解析由正弦定理，得sinB＝143×42×32＝22，∴B＝45°或135°，又ab，∴AB，∴B＝45°.故选C.答案C6．在△ABC中，cos2A2＝b＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析∵cos2A2＝b＋c2c，∴1＋cosA2＝b＋c2c，∴1＋b2＋c2－a22bc＝b＋cc，化简得a2＋b2＝c2，故△ABC是直角三角形．故选B.答案B7．在△ABC中，若角A，B，C成公差大于0的等差数列，则cos2A＋cos2C的最大值为()A.12B.32C．2D．不存在解析∵角A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，A＋C＝120°.cos2A＋cos2C＝1＋cos2A2＋1＋cos2C2＝1＋12(cos2A＋cos2C)＝1＋12[cos(240°－2C)＋cos2C]＝1＋12cos(2C＋60°)．-4-∵60°C120°，∴180°2C＋60°300°，∴121＋12cos(2C＋60°)54，即cos2A＋cos2C的最大值不存在，故选D.答案D8．关于x的方程cos2x＋sin2x＝2k在0，π2内有两个不同的实数解，则k的取值范围是()A.12，22B.－12，22C.12，22D.－12，22解析由cos2x＋sin2x＝2k，得k＝12(cos2x＋sin2x)＝22sin2x＋π4，当x∈0，π2时，2x＋π4∈π4，5π4，∴－1222sin2x＋π4≤22.数形结合可知，当12k22时，方程有两个不同的实数解．故选A.答案A9．(2012·浙江)设a，b是两个非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|解析选项A错，若|a＋b|＝|a|－|b|，则有a与b方向相反，且有|a|≥|b|；由此可得选项B中的结论也是错误的；选项C是正确的，选项D中，若λ0则a，b同向，故错误．答案C10．(2012·湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→＝1，则BC＝()A.3B.7C．22D.23解析在△ABC中，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则c＝2，b＝3，AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|cos(180°－∠B)＝－accosB＝1，得acosB＝－12.由余弦定理得：acosB＝a×a2＋22－322×a×2＝a2－52×2＝－12，解得a＝BC＝3.-5-答案A11．(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b解析因为|a－b|＝|a＋b|，由向量的加法和减法法则可知以a，b为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以a⊥b.也可直接等式两边平方化简得a·b＝0，从而a⊥b.答案B12.(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝α·ββ·β.若平面向量a，b满足|a|≥|b|0，a与b的夹角θ∈0，π4，且a·b和b·a都在集合{n2|n∈Z}中，则a·b＝()A.12B．1C.32D.52解析解法一：b○a＝|a||b|cosθ|a|2＝|b||a|cosθ，因θ∈0，π4，cosθ∈22，1，又|a|≥|b|0，所以b○a1，又b○a∈{n2|n∈Z}，故b○a＝12，|b||a|cosθ＝12，|b||a|＝12cosθ，a○b＝|a||b|cosθ＝2cos2θ，又因cosθ∈22，1，所以a○b∈(1,2)，又a○b∈{n2|n∈Z}，所以a○b＝32.解法二(特殊值法)：取|a|＝3，|b|＝1，θ＝π6，则a·b＝a·bb·b＝|a||b|cosθ|b|2＝32，b·a＝b·aa·a＝|a||b|cosθ|a|2＝12，都在{n2|n∈Z}中．答案C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13.如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．-6-解析在△ABC中，cosC＝12BCAC＝32，∴C＝30°，由ADsinC＝ACsin∠ADC，∴AD＝ACsin∠ADC·sinC＝222·12＝2.答案214．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．解析设三边长为a，a＋4，a＋8，则120°角所对边长为a＋8，由余弦定理得(a＋8)2＝a2＋(a＋4)2－2a·(a＋4)·cos120°，化简得a2－2a－24＝0，解得a＝6或a＝－4(舍去)．∴三角形面积S＝12a·(a＋4)·sin120°＝153.答案15315．(2011·课标)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．解析由正弦定理，ABsinC＝BCsinA＝332＝2，得AB＝2sinC，BC＝2sinA，则AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin(180°－60°－A)＋4sinA＝3cosA＋5sinA＝27sin(A＋φ)，其中tanφ＝35(φ为锐角)，故当A＋φ＝π2时，AB＋2BC取最大值27.答案2716．(2011·上海)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．解析如图，∠C＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，2sin45°＝ACsin60°.-7-得AC＝6.答案6三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，b＝2，求△ABC的面积S.解(1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB.所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝14，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×14解得a＝1，从而c＝2-8-又因为cosB＝14，且0Bπ，所以sinB＝154.因此S＝12acsinB＝12×1×2×154＝154.18．(本小题满分12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．解(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cosB＝12.(2)解法一：由已知b2＝ac，及cosB＝12，根据正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以sinAsinC＝1－cos2B＝34.解法二：由已知b2＝ac，及cosB＝12，根据余弦定理得cosB＝a2＋c2－ac2ac，解得a＝c，所以A＝C＝B＝60°，故sinAsinC＝34.19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.(1)若sinA＋π6＝2cosA，求A的值；(2)cosA＝13，b＝3c，求sinC的值．解(1)由题设知sinAcosπ6＋cosAsinπ6＝2cosA，从而sinA＝3cosA，所以cosA≠0，tanA＝3.因为0Aπ，所以A＝π3.(2)由cosA＝13，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝π2.所以sinC＝cosA＝13.-9-20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为