随机变量的独立性

第八节随机变量的独立性设A是随机变量Y所生成的事件:}{yYA,且0}{yYP,则有)(),(}{},{)|(yFyxFyYPyYxXPyYxFY.一般地,由于随机变量YX,之间存在相互联系,因而一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性.在何种情况下,随机变量YX,之间没有上述影响,而具有所谓的“独立性”,我们引入如下定义.定义设随机变量),(YX的联合分布函数为),(yxF,边缘分布函数为)(xFX,)(yFY,若对任意实数yx,,有},{}{},{yYPxXPyYxXP即),()(),(yFxFyxFYX则称随机变量X和Y相互独立.关于随机变量的独立性,有下列两个定理.定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立,即,对任意实数集BA,,有},{}{},{BYPAXPBYAXP定理2如果随机变量X与Y相互独立,则对任意函数),(1xg)(2yg均有)(),(21YgXg相互独立.对离散型随机变量),(YX,其独立性的定义等价于:若对),(YX的所有可能取值),,(jixx有}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP即,2,1,,jipppjiij则称X和Y相互独立.对二维连续型随机变量),(YX,其独立性的定义等价于:若对任意的yx,,有)()(),(yfxfyxfYX几乎处处成立,则称YX,相互独立.注:这里“几乎处处成立”的含义是:在平面上除去面积为0的集合外,处处成立.随机变量的独立性例2(讲义例2)设X与Y的联合概率分布为YX10200.10.2010.30.050.120.1500.1(1)求0Y时,X的条件概率分布以及0X时,Y的条件概率分布;(2)判断X与Y是否相互独立?解(1),25.0005.02.0}0{YP在0Y时,X的条件概率分布为,8.025.02.0}0{}0,0{}0|0{YPYXPYXP,2.025.005.0}0{}0,1{}0|1{YPYXPYXP,025.00}0{}0,2{}0|2{YPYXPYXP又,3.002.01.0}0{XP故在0X时，Y的条件概率分布可类似求得,313.01.0}0|1{XYP,323.02.0}0|0{XYP.0}0|2{XYP(2)因,3.0}0{XP,55.015.03.01.0}1{YP而,1.0}1,0{YXP即}1{}0{}1,0{YPXPYXP所以,X与Y不独立.例3(讲义例3)设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量),(YX联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.YX1y2y3yiiPxXP}{1x1/82x1/8jjpyyP}{1/61解由于},{11yYxXP},{}{121yYxXPyYP,24/18/16/1考虑到X与Y相互独立,有},,{}{}{1111yYxXPyYPxXP所以.416/124/1}{1xXP同理,可以导出其它数值,最后将所求数值填入表中.YX1y2y3yiiPxXP}{1x1/241/81/121/42x1/83/81/43/4jjpyyP}{1/61/21/31例5(讲义例4)设),(YX的概率密度为(1)其它,00,0,),()(yxxeyxfyx;(2),,010,0,2),(其它yyxyxf问X和Y是否独立?解(1),)(0)(xyxXxedyxexf0x,)(0)(yyxYedxxeyf0y即,,00,)(其它xxexfxX,,00,)(其它xeyfyY因对一切yx,均有:),()(),(yfxfyxfYX故YX,独立.(2)),1(22)(1xdyxfxX10x,22)(0ydxyfyY10y即,,010),1(2)(其它xxxfX,,010,2)(其它yyyfY由于存在面积不为0的区域,使)()(),(yfxfyxfYX故X和Y不独立.例8(讲义例5)甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少?解设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,),45,15(~UX)60,0(~UY,,04515,30/1)(其它xxfX,,0600,60/1)(其它xyfY由X与Y独立性知,,0600,4515,1800/1),(其它yxyxf先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率为},5|{|YXP甲先到的概率为},{YXP下面用两种方法计算之:(1)}55{}5|{|YXPYXP,6/118001451555dxdyxxdxdyYXPx45156018001}{.2/1(2)5||18001}5|{|yxdxdyYXP,6/1)]2/30303010(23060[18001.2/1}{}{YXPYXP例11(讲义例7)设随机变量),(YX的概率密度为.,0;0,),(其它yxeyxfy(1)求X与Y的边际概率密度,并判断X与Y是否相互独立;(2)求在yY的条件下,X的条件概率密度;(3)求概率.4|21|2/10},12{YXPYXPYXP解(1),),()(dyyxfxfX,x当0x时，,0)(xfX当0x时，,)(xxyXedyexf所以,0,00,)(xxexfxX类似可得.0,00,)(yyyeyfyY由于当yx0时,),()()(yxfyfxfYX,故X与Y不相互独立.(2)由(1)知,当0y时,,0)(yfY所以,在yY的条件下,X的条件概率密度为)(),()|(|yfyxfyxfYYX.,00,/1其它yxy(3)}12{YXP12),(yxdxdyyxf21310xxydyedx,3213121ee}1|2/10{YXP}1{}1,2/10{YPYXP101210dyyedyedxyxy121121211eee由于,0}4{YP因此不能用前面的方法来求},4|2{YXP但由(2)知,在4Y的条件下,X的条件概率密密度为,,040,4/1)4|(|其它xxfYX故有dxxfYXPYX)4|(}4|2{2|.214142dx