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第1页(共23页)数列与不等式综合问题30道1.已知数列an是等差数列,bn=a1+a2+⋯+ann(n=1,2,3,⋯).证明:数列bn是等差数列.2.已知曲线C:xy=1,过C上的点Anxn,yn作斜率为kn=−1xn+2的直线交曲线C于另一点An+1xn+1,yn+1,点列An的横坐标构成数列xn,其中x1=117.(1)求xn与xn+1的关系式;(2)令bn=1xn−2+13,求证:数列bn是等比数列;(3)若cn=3n−tbn(t为非零整数,n∈ +),试确定t的值,使得对任意n∈ +,都有cn+1cn成立.3.设n∈ ∗,xn是曲线y=x2n+2+1在点1,2处的切线与x轴交点的横坐标,(1)求数列xn的通项公式;(2)记Tn=x12x32⋯x2n−12,证明:Tn≥14n.4.已知数列an满足a1=12,2an+1−an=1.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:a1+a2+⋯+ann1.5.已知数列an的前n项和为Sn,点n,Snn在直线y=12x+112上.数列bn满足bn+2−2bn+1+bn=0n∈ +,b3=11,且其前9项和为153.(1)求数列an,bn的通项公式.(2)设cn=32an−112bn−1,数列cn的前n项和为Tn,求使不等式Tnk57对一切n∈ +都成立的最大正整数k的值.6.已知数列an是等比数列,首项a1=1,公比q0,其前n项和为Sn,且S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足an+1=12anbn,Tn为数列bn的前n项和,若Tn≥m恒成立,求m的最大值.7.已知an是正整数组成的数列,a1=1,且点(an,an+1)(n∈ ∗)在函数y=x2+1的图象上;(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b1=1,bn+1=bn+2an,求证:bn⋅bn+2bn+128.x,y∈ +,且x≠y,若a,x,y,b依次成等差数列,c,x2y,y2x,d依次成等差数列,试比较a+b与c+d的大小.9.已知数列an的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn=an+122.(1)求an与an−1n≥2之间的关系式,并求an的通项公式;(2)求证:1S1+1S2+⋯+1Sn2.第2页(共23页)10.在等比数列an和等差数列bn中,a1=b10,a3=b30,a1≠a3,试比较a5和b5的大小.11.设数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=1+Snn∈ ∗.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn为等差数列,且b1=a1,公差为a2a1.当n≥3时,比较bn+1与1+b1+b2+⋯+bn的大小.12.已知数列an中,a1=1,an+1=anan+3n∈ ∗.(1)求证:1an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)设bn=3n−1⋅n2n⋅an,记其前n项和为Tn,若不等式2n−1λ2n−1Tn+n对一切n∈ ∗恒成立,求λ的取值范围.13.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=an+1−3,数列bn的前n项和为Tn,点an,bn在函数y=nx−1图象上.(1)求数列an的通项公式;(2)求Tn;(3)试比较Tn和Bn=52−n22n的大小,并证明.14.已知等差数列an的前n项和为Sn,非常数等比数列bn的公比是q,且满足:a1=2,b1=1,S2=3b2,a2=b3.(1)求an与bn;(2)设cn=2bn−λ⋅3an2,若数列cn是递减数列,求实数λ的取值范围.15.某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?16.是否存在一个等差数列an,使SnS2n是一个与n无关的常数?若存在,求此常数;若不存在,请说明理由.17.函数fx=3x2x+3,数列an满足a1=1,an+1=fan,n∈ ∗,(1)求证:数列1an是等差数列;(2)令bn=an−1⋅ann≥2,b1=3,Sn=b1+b2+⋯+bn,若Snm−20032对一切n∈ ∗成立,求最小正整数m.18.已知常数p满足0p1,数列xn满足x1=p+1p,xn+1=xn2−2.(1)求x2,x3,x4;(2)猜想xn的通项公式(不用给出证明);(3)求证:xn+1xn对n∈ ∗成立.19.设b0,数列an满足a1=b,an=nban−1an−1+n−1n≥2.(1)求数列an的通项公式;第3页(共23页)(2)证明:对于一切正整数n,2an≤bn+1+1.20.已知常数p满足0p1,数列xn满足x1=p+1p,xn+1=xn2−2.(1)求x2,x3,x4;(2)猜想xn的通项公式,并给出证明;(3)求证:xn+1xn对n∈ ∗成立.21.设M=10a2+81a+207,P=a+2,Q=26−2a,若将lgM,lgQ,lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列an的前三项.(1)求a的值及an的通项公式;(2)记函数fx=anx2+2an+1x+an+2n∈ ∗的图象在x轴上截得的线段长为bn,设Tn=14b1b2+b2b3+⋯+bn−1bnn≥2,求Tn.22.已知数列an的首项a1=35,an+1=3an2an+1,n=1,2,3,⋯(1)求证:1an−1是等比数列,并求出an的通项公式;(2)证明:对任意的x0,an≥11+x−11+x223n−x,n=1,2,3⋯(3)证明:n−25≥a1+a2+⋯+ann2n+1.23.在数列an中,a1=1,3anan−1+an−an−1=0n≥2.(1)证明数列1an是等差数列;(2)求数列an的通项;(3)若λan+1an+1≥λ对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.24.在数列an中,a1=1,3anan−1+an−an−1=0(n≥2).(1)证明:数列1an是等差数列;(2)求数列an的通项;(3)若λan+1an+1≥λ对任意的整数恒成立,求实数λ的取值范围.25.已知数列an中,a1=1,a2=14,且an+1=n−1ann−ann=2,3,4,⋯.(1)求数列an的通项公式;(2)求证:对一切n∈ ∗,有a12+a22+⋯+an276.26.已知数列an满足a1=1,an+1=12an+1n∈ ∗.(1)证明:数列an−12为单调递减数列;(2)记Sn为数列an+1−an的前n项和,证明:Sn53n∈ ∗.27.已知a0,函数fx=aexcosxx∈0,+∞.记xn为fx的从小到大的第nn∈ ∗个极值点.(1)证明:数列fxn是等比数列;(2)若对一切n∈ ∗,xn≤fxn恒成立,求a的取值范围.28.设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1,其中a2≠0.第4页(共23页)(1)求证:an是首项为1的等比数列;(2)若a2−1,求证:Sn≤n2a1+an,并给出等号成立的充要条件.29.设数列an定义为a1=a,an+1=1+1a1+a2+⋯+an−1,n≥1.(1)证明:存在正实数a,使得a1,a2,a3成等差数列;(2)求实数a的取值范围,使得当n≥2时,0an1.30.已知数列an满足a1=−1,an+1=3n+3an+4n+6n(n∈ ∗).(1)证明:数列ann+2n是等比数列;(2)令bn=3n−1an+2,数列bn的前n项和为Sn,(ⅰ)证明:bn+1+bn+2+⋯+b2n45;(ⅱ)求证:当n≥2时,Sn22S22+S33+⋯+Snn.第5页(共23页)数列与不等式30大题答案1.设an公差为d,则bn=a1+a2+⋯+ann=1nna1+nn−12d=a1+n−12d.所以bn+1−bn=a1+n2d−a1+n−12d=d2,b1=a1,根据等差数列的定义,得bn是首项为a1,公差为d2的等差数列.2.(1)依题意得:yn+1−ynxn+1−xn=−1xn+2.又Anxn,yn和An+1xn+1,yn+1在曲线C:xy=1上,所以1xn+1−1xnxn+1−xn=−1xn+2.所以xnxn+1=xn+2,即xn+1=xn+2xn.(2)bn=1xn−2+13=xn+13xn−2.所以bn+1bn=xn+1+13xn+1−2xn+13xn−2.将(1)中的结论代入整理得bn+1bn=−2.所以数列bn是首项为b1=1x1−2+13=−2,公比q=−2的等比数列.(3)由(2)知bn=−2n,要使cn+1cn恒成立,即cn+1−cn=3n+1−t−2n+1−3n−t−2n=2⋅3n+3t−2n0.恒成立,所以−1nt−32n−1恒成立,当n为奇数时,t32n−1恒成立,所以t1.当n为偶数时,t−32n−1恒成立,所以t−32.所以−32t1,因为t为非零整数,n∈ +所以t=−1.3.(1)yʹ=x2n+2+1ʹ=2n+2x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点1,2处的切线斜率为2n+2.从而切线方程为y−2=2n+2x−1.令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1−1n+1=nn+1.所以数列xn的通项公式xn=nn+1.(2)由题设和(1)中的计算结果知第6页(共23页)Tn=x12x32⋯x2n−12=122342⋯2n−12n2.当n=1时,T1=14.当n≥2时,因为x2n−12=2n−12n2=2n−122n22n−12−12n2=2n−22n=n−1n,所以Tn122×12×23×⋯×n−1n=14n.综上可得,对任意的n∈ ∗,均有Tn≥14n.4.(1)由已知可得2an+1−an=1=2−1,所以2an+1−2=an−1,即2an+1−1=an−1,所以an+1−1an−1=12,又a1=12,所以a1−1=12−1=−12,所以数列an−1是以−12为首项,12为公比的等比数列,所以an−1=−12×12n−1,所以an=1−12n.(2)证明:因为a1+a2+⋯+an=n−12+122+⋯+12n=n−12−12×12n1−12=n−1+12n.所以a1+a2+⋯+ann=1−1−12nn,因为n是正整数,所以012n1,所以01−12n1,所以1−12nn0,所以a1+a2+⋯+ann1.5.(1)由已知得Snn=12n+112,所以Sn=12n2+112n.当n≥2时,有an=Sn−Sn−1=12n2+112n−12n−12−112n−1=n+5.当n=1时,a1=S1=6也符合上式,所以an=n+5.由bn+2−2bn+1+bn=0n∈ +知bn是等差数列,由bn的前9项和为153,可得9b1+b92=9b5=153,得b5=17,又b3=11,所以bn的公差d=b5−b32=3.因为b3=b1+2d,所以b1=5,所以bn=3n+2.第7页(共23页)(2)cn=32n−16n+3=1212n−1−12n+1,所以Tn=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=121−12n+1,因为n增大时,Tn增大,所以Tn是递增数列,所以Tn≥T1=13,所以Tnk57对一切n∈ +都成立,只要T1=13k57即可,解得k19,所以kmax=18.6.(1)由题意可知:2S3+a3=S1+a1+S2+a2,所以S3−S1+S3−S2=a1+a2−2a3,即4a3=a1,于是a3a1=q2=14,因为q0,所以q=12;因为a1=1,所以an=12n−1.(2)因为an+1=12anbn,所以12n=12anbn,所以bn=n⋅2n−1,所以Tn=1×1+2×2+3×22+⋯+n⋅2n−1⋯⋯①,所以2Tn=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n⋯⋯②,所以①−②得:−Tn=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n=1−n2n−1,所以Tn=1+n−12n,因为Tn≥m恒成立,只需Tnmin≥m,因为Tn+1−Tn=n⋅2n+1−n−1⋅2n=n
本文标题:数列与不等式30大题(有答案)
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