1.3.2杨辉三角(上课用)

“杨辉三角”与二项式系数的性质把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当n依次取1，2，3，…时，可列成下表：(a+b)1→11(a+b)2→121(a+b)3→1331(a+b)4→14641(a+b)5→15101051(a+b)6→1615201561……………………上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)1在我国,很早就有人研究过二项式系数表,南宋数学家杨辉于1261年在其所著的《详解九章算法》中就有出现.欧洲认为是1654年帕斯卡发现的，称为“帕斯卡三角”(a+b)1……………11(a+b)2……………121(a+b)3…………1331(a+b)4………14641(a+b)5……15101051(a+b)6…1615201561观察二项式系数表，寻求其规律：31015思考1,10nnnCC观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这就是组合数的性质1:mnmnnCC(2)递推性:除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.这就是组合数的性质2:11mmmnnnCCC性质(3)各二项式系数的和.0122rnnnnnnnCCCCC从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小.※当n是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；※当n是奇数时，中间的两项二项式系数和相等，且同时取得最大值。Cnn21Cnn212nnC即和Tn121Tn121(a+b)1……………11(a+b)2……………121(a+b)3…………1331(a+b)4………14641(a+b)5……15101051(a+b)6…1615201561(4)增减性与最大值.即Tn12试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：021312nnnnnCCCC证明：在展开式中令a=1，b=－1得011nnnnnnnCaCabCb0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC02130nnnnCCCC即0213nnnnCCCC启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法.思考1题型一求二项展开式中有关系数和的问题(整理)012999999:?12512.CCCC解二项式系数之和为例1:在二项式(2x-3y)9展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有偶数项系数之和;(4)所有项系数绝对值的和.998729012990129:2x3yaxaxyaxyay.  2xy1aaaa21311.解设令得各项系数之和为012990128913901290129999:32,aaaa1x1,y1:aaaaa5aaa41:aaa51.251aaaaa5.(3.)2解由知令得二式相减得所有偶数项系数之和为方法由知方法2:|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|,即为(2x+3y)9展式中各项系数之和,令x=y=1得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=59.即所有项系数绝对值的和为59.变式训练1:若(1-2x+3x2)8=a0+a1x+a2x2+…+a14x14+a15x15+a16x16.求:(1)a1+a2+…+a16;(2)a0+a2+a4+…+a14+a16.解:(1)令x=0,得a0=1.令x=1,得a0+a1+a2+…+a16=28=256.∴a1+a2+a3+…+a16=255.(2)由(1)知,a0+a1+a2+a3+…+a15+a16=28,令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+a14-a15+a16=68,二式相加得2(a0+a2+a4+…+a14+a16)=28+68,∴a0+a2+a4+…+a14+a168826.2题型二求二项展开式中有关最大系数问题例2:(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.5655656678454rr1rr15648186818867:T2x,T2x,C2n8.12x,T2x1120x.r1,2C25r622r5r6T1792x,T17922x.nnnnrrrrCCCCCCC解依题意有的展开式中二项式系数最大的项为设第项系数最大则有≥≤≤≥或。系数最大的项为22*89()6433nnnN能被整除。证：例求、余数是1，所以是星期六例4、今天是星期五，那么天后的这一天是星期几？1008三、整除问题例5:求的展开式中项的系数.65(1)(21)xx6x解62666()rrrrCxCx6(1)x的通项是55555(2)(1)(1)2sssssssCxCx5(21)x的通项是1622556(1)2rssrssCCx65(1)(21)xx的通项是65(1)(21)xx由题意知16226rs24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得3206252)1(CC所以的系数为:6x426152)1(CC5046052)1(CC640例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算(-168)的展开式中的常数项为52)11)(2(xx12题型证明恒等式123119232nnnnnnCCCnCn例求证析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为由此分析求解rnnrnnnnnnnCCCCCC110,01231:023(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC解设nnnnnnnnCCCnCnnCS0)2()1(1210两式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn212nnnS112knknnCkC用此公式证明方法求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：∵0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn012123112nnnnnnCCCnCn倒序相加法思考123123(1)0nnnnnnCCCnC求证：!!)!2()()()()(2222120nnnCCCCnnnnn求证：的系数相等左右两边利用nnnnxxxx)1()1()1(例20．证明：3)11(2nn1*nNn且当2111111)11(22221nCnCnCnnnnn证明1(1)(1)111!!!kknkkknnnknCnknknk通项nnnnnnnCnCnCn1111)11(221122121212!1!31!212nn321121n3)11(2nn所以题型证明不等式利用二项式定理证明不等式,将展开式进行合理放缩探究：斜行规律（一）第一条斜线上：16C第二条斜线上：26C第三条斜线上：36C第四条斜线上：46C猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第m+1条斜线上的第n个数.1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）1＋4＋10＋．．．＋＝（第4条斜线）31nC1＋3＋6＋．．．＋＝（第3条斜线）21nC1＋2＋3＋．．．＋＝（第2条斜线）11nC(nr)rnrrrrrrCCCC1211nC2nC3nC4nC1rnC?结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr即)(11122110rnCCCCCrnnrnnrrr即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。第1行11第5行15101051第0行1第2行121第4行14641第6行1615201561第7行172135352171第3行1331……（二）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881结论2：从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的斐波那契数列。中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．斐波那契“兔子繁殖问题”趣味数学358第0行4101312679111214151）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第行的各个数字为奇数？2n-1除两端的1之外都是偶数.则第2n行的数字有什么特点？探究：横行规律高考真题：（07湖南理15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0——1数表，从上往下数：第一次全行的数都为1的是第一行，第二次全行的数都为1的是第3行，……第n次全行的数都为1的是第行第一行11第二行101第三行1111第四行10001第五行1100112n－1题型三与杨辉三角有关的问题例3:如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为S(n),则S(16)等于()2122212339191212122233991112222392392111232222392339231010:,234,1,,,,,.()()()()1164.516S16CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC解析由图知数列中的首项是第项是第项是第项是第项是第项是变式训练:如下图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第________行中从左到右第14与第15个数的比为2：3.13142,3!14!(14)!2,13!(:::13)!!31421334.3nnnCCnnnnn解析由“杨辉三角”与二项式系数之间的关系可得即即解得答案:34在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;思考解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC即3(r+1)2(20-r)得2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为227855r812812892032TCxy（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）r=5.即3(r+1)2(20-r)得2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为528527r812812820923yxCT422601260126121__________5._____.xxaaxaxaxaaaa设多项式