多元变量的最值

二轮专题复习：多元变量的最值（范围）引入：最值问题是中等数学中永恒的话题，也是江苏高考的热门考点。而在最值求解中，多元变量得最值问题因其技巧性强，难度大，方法多，灵活多变而更具挑战，也成为了最值求解中的难点和热点。一、基础训练1、若正数,ab满足21ab.（1）求11ab的最小值；法一：11112()(2)21322ababababba当且仅当22,212ab时取等号。策略：借助“1”的代换，构造出积为定值，利用基本不等式求得和的最值。法二：12ba111112abaa令11()12fxaa探求a的范围，再求函数最值。策略：消元，使二元问题转化为函数求最值问题。（2）求224abab的最大值.分析：224(2)414ababababababab令abt，则222441()ababttft又21222,,0,0.4abababab又204ab接下来研究二次函数在给定定义域上的值域。答案：22max17(4)16abab策略：运用换元，将问题转化为求函数最值问题。2、已知221xy，求32xy的最大值.法一：线性规划。策略：赋予目标及条件相应的几何意义。法二：三角换元，转化为三角函数求最值。策略：用一个角统一两个元，达到减元的目的，仍然转化为函数就最值。请学生通过基础训练，总结归纳多元变量求最值（范围）的策略，并板书。解决策略：策略一：利用基本不等式。注意条件：“一正二定三相等“换元，注意换元换范围策略二：化归转化为函数求最值消元，注意消元留范围策略三：数形结合，赋予条件及目标相应的几何意义二、例题讲解例1：已知函数2()log(2)fxx，若实数,mn满足()(2)3fmfn，则mn的最小值是__7______．利用基本不等式例2：（1）若,ac是正实数，则222cauaac的最小值是124.(2)若,,abc是正实数，则22cabuabbcac的最小值是124.换元法请学生观察（1），（2）的关系，有何发现？最小值一样，（2）中的最值就在当ab时取到，此法可在填空题中尝试。例3：如图,在扇形OAB中，∠60AOB，C为AB上一个动点，若OCxOAyOB，则4xy的取值范围是[1,4].OBA法一：三角换元法二：线性规划例4：已知正数,,abc满足：534,lnlncabcacbacc，则ba的取值范围是________．答案：[e，7]解析：条件5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，可化为3·ac＋bc≥5，ac＋bc≤4，bc≥eac.设ac＝x，y＝bc，则题目转化为：已知x，y满足3x＋y≥5，x＋y≤4，y≥ex，x0，y0，求yx的取值范围．作出(x，y)所在平面区域(如图)．求出y＝ex的切线的斜率e，设过切点P(x0，y0)的切线为y＝ex＋m(m≥0)，则y0x0＝ex0＋mx0＝e＋mx0，要使它最小，须m＝0.∴yx的最小值P(x0，y0)处，为e.此时，点P(x0，y0)在y＝ex上A、B之间．当(x，y)对应点C时，y＝4－x，y＝5－3x5y＝20－5x，4y＝20－12xy＝7xyx＝7，∴yx的最大值在C处，为7.∴yx的取值范围为[e，7]，即ba的取值范围是[e，7]．课堂小结：多元变量求最值的几大策略。三、巩固练习1.(2013·天津卷)设a＋b＝2，b0，则12|a|＋|a|b的最小值为________．答案：34解析：12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|·|a|b＝a4|a|＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b4|a|＝|a|b，a0，即a＝－2，b＝4时取等号，故最小值为34.2、设x、y满足约束条件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为12，求2a＋3b的最小值为____________．答案：256解析：由图形可知，目标函数在(4，6)处取得最大值12，∴2a＋3b＝6，从而有2a＋3b＝16(2a＋3b)(2a＋3b)＝166ba＋4＋9＋6ab＝136＋166ba＋6ab＝136＋ba＋ab≥136＋2ba·ab＝256.3.若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．答案：9解析：由题意，x＝1是f′(x)＝12x2－2ax－2b的一个零点，所以12－2a－2b＝0，即a＋b＝6(a＞0，b＞0)，因此ab≤a＋b22＝622＝9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．四、课后作业1．已知实数x、y满足2035000xyxyxy，ks5u则yxz)21()41(的最小值为.1612．如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量APmABnAF（m、n为实数），则mn的最大值为.53．已知正实数x、y、z满足112()xxyzyz，则11()()xxyz的最小值为．2221112(),211111()()222=xxxxyzxyzyzyzxxxxxyzyzyzyzyzyz由得又当且仅当时取“”4．已知函数23fxx，若021ab，且(2)(3)fafb，则23Tab的取值范围是．5(,0)165．设x、y均为正实数，且33122xy，则xy的最小值为.166．函数32()fxxbxcxd在区间[1,2]上是减函数，则cb的最大值为./()0fx有根11x，22x，所以/(1)0f，/(2)0f，//(1)(2)22150ffbc，所以152bc（32b，6c时取“”）；7．已知0x，0y，1xy，则2221xyxy的最小值为.148．已知三次函数32()()32abfxxxcxdab在R上单调递增，则23abcba的最小值为．35729．已知a、b、c（)abc）成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数依次成等比数列，则222acb的值为.设公差为d，若b是等比中项，则2()()bbdbd，所以0d，不符合题意；若bd是等比中项，则2()()bdbbd，所以3db，此时三个数为2b，b，4b，22220acb；若bd是等比中项，则2()()bdbbd，所以3db，此时三个数为4b，b，2b，22220acb.10、江苏2013年9．抛物线2xy在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部与边界）。若点),(yxP是区域D内的任意一点，则yx2的取值范围是。21,2江苏2010年12、设实数x、y满足3≤2xy≤8，4≤yx2≤9，则43yx的最大值是▲。。[解析]考查不等式的基本性质，等价转化思想。22()[16,81]xy，2111[,]83xy，322421()[2,27]xxyyxy，43yx的最大值是27。