常微分方程(王高雄)第三版-3.2

§3.2解的延拓问题提出对于初值问题,)(),(00yxyyxfdxdy,,:00byyaxxR,,在一定条件下告诉我们上节解存在唯一性定理,0上存在唯一它的解在区间hxx),(),,min(),(yxfMaxMMbahRyx这里,,),(,区间也应越大解的存在唯一越大的定义域如果根据经验Ryxf,0)0(22yyxdxdy例如初值问题,11,11:时当取定义域为yxR.21}21,1min{hx解的存在唯一区间,22,22:时当取定义域为yxR.41}82,2min{hx解的存在唯一区间1饱和解及饱和区间定义1上的微分方程对定义在平面区域G)1.3(),,(yxfdxdy,),()1.3()(11的连续解定义在区间为方程设xy且满足有定义上它在区间的另一解若存在方程,),(),()1.3(22xy),,(),(),(),()1(11221122但);()(,),()2(11xxx时当.),()()(,),(),(2211的一个延拓在是解并且称解是可延拓的则称解xyxyxxy.,),(),(),(11或饱和解解为方程的一个不可延拓则称解的解若不存在满足上述条件xxyxy.),(11称为一个饱和区间义区间此时把不可延拓解的定2局部李普希茨(Lipschitz)条件定义2.),(),,(),(,,,),(条件满足局部于内关在则称可能不同大小和常数域对不同的点条件满足关于上在存在内的闭矩形为中心完全含于有以一点内的每且对内连续在区域若函数LipschitzyGyxfLRLipschitzyyxfRRGPPGGyxfPPP对定义2也可如下定义有使对有关与及常数矩形若对上函数对定义在平面区域1'''111111111111),(),,(),,,,(},|),{(,),(),,(RyxyxbayxLGbyyaxxyxRGyxyxfG'1'),(),(yyLyxfyxf.),(,条件满足局部内关于在则称恒成立LipschitzyGyxf.),(,),(),(条件满足局部内关于在则内连续在及若LipschitzyGyxfGyxfyxfy注3解的延拓定理定理.))(,(,)(),()1.3(.),(,),()1.3(00的边界任意接近直到点可以延拓的解内任一点通过那么方程件条满足局部关于内且在在中连续在有界区域右侧函数如果方程GxxxyyxGLipschitzyyxfGGyxf.))(,(,,)(,0边界的趋于区域时则当上间只延拓到区如果增大的一方来说以向Gxxmxmxxxyx证明初值问题由解存在唯一性定理,,),(00Gyx)2(,)(),(00yxyyxfdxdy.),(00hxxxy解的存在唯一区间为存在唯一解则初值问题为心作一小矩形以取,),(),(,11111001GRyxxyhxx)3(,)(),(11yxyyxfdxdy11(),0.yxxxh存在唯一解解的存在唯一区间为),()(,),()(11xxxx应有在两区间的重叠部分由唯一性定理因),()(111xxxxhx时即当定义函数,),(),()(11000000*hxxhxxhxxhxxx.],[)),3()(2()1.3()(,1100*上有定义的唯一解在或满足为方程那么hxhxxy,)()()2()1.3(00*的向右方延拓区间在定义为解的解满足即方程hxxxyxy,10000上即将解延拓到较大区间hhxxhx.)(向左方延拓同样方法可把解xy以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一次地进行下去.直到无法延拓为止..)()2()1.3(xy的一个解满足即得到它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1)的饱和解.最后得到一条长长的积分曲线,推论1上的初值问题对定义在平面区域G.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy其中,),(条件满足局部内连续且关于在若LipschitzyGyxf则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论2为初值问题设)(xy.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy其中.,一定是开区间则该饱和解的饱和区间一个饱和解I证明,不是开区间若饱和区间I],,(I设G))(,(则,)(还可以向右延拓这样解xy矛盾从而它是非饱和解,同样讨论时对,),[I.))(,(,)(Gxxx时或即推论3有下面的两种情况一方的延拓来说减少增大向以可以延拓的解的通过点方程在上面延拓定理条件下是无界区域如果,)(,)(),()1.3(,,00xxyyxG],,)((,[)()1(00xxxy可以延拓到区间解Gxxmymxmxmmxxy))(,(,)(,,],,)((,[)()2(00或者无界或者时当为有限数其中可以延拓到区间解例1讨论方程212ydxdy.)3,2(ln的解存在区间通过点解该方程右侧函数确定在整个xy平面上且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为,11xxcecey的解为故通过点)3,2(ln,11xxeey),,0(这个解的存在区间为.,0,0,)3,2(ln,yx时因但向左只能延拓到的解向右可延拓到通过点如图例22ydxdy.)1,1(),0,0(的解存在区间通过点中的方程研究定义于带域32x解,),(2处处连续yyxf,条件满足局部且在带域中关于Lipschitzy方程通解为,1xcy.0:y此外还有解.0,0)0,0(的边界能达到的两端都积分曲线的解为方程过Gyy,21)1,1(xy的解为方程过,2x它的左端达到;,2yx时但右端当.3xG的边界故不能达到,(,)231,(2,3).fxyx该例题说明虽然在带形区域中满足定理的要求但方程的解都不能够延拓到整个区间上去注).,()1.3(,,,),(以延拓到区间的解可则方程偏导数的一阶连续同时存在关于连续和有界平面上有定义在整个如果函数yxyyxf