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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2011版高中数学二轮专题复习学案-1.2函数、基本初等函数的图象与性质
第1页共15页专题一:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数、基本初等函数的图象与性质【最新考纲透析】1.函数(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。(3)了解简单的分段函数,并能简单应用。(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质。2.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景。(2)理解有理指数幂的含义,了解褛指数幂的意义,掌握幂的运算。(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点。(4)知道指数函数是一类重要的函数模型。3.对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。[来源:学§科§网Z§X§X§K](2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。(3)知道对数函数是一类重要的函数模型。(4)了解指数函数xya与对数函数logayx互为反函数(0,1aa且)。4.幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数12321,,,,yxyxyxyyxx的图象了解它们的变化情况。【核心要点突破】要点考向一:基本初等函数问题考情聚焦:1.一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数,在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。2.常与函数的性质、方程、不等式综合命题,多以选择、填空题的形式出现,属容易题。第2页共15页考向链接:1.一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键,同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。例1:(2010·全国高考卷Ⅱ文科·T4)函数y=1+ln(x-1)(x1)的反函数是(A)y=1xe-1(x0)(B))y=1xe+1(x0)(C)y=1xe-1(xR)(D)y=1xe+1(xR)【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。【思路点拨】运用求反函数的方法解。【规范解答】选D,y=1+ln(x-1),ln(x-1)=y-1,x-1=e1-y,所以反函数为y=1xe+1(xR)【方法技巧】求反函数的步骤:(1)反解x,即用y表示x.(2)把x、y互换,(3)写出反函数的定义域,即原函数的值域。本题注意指数式与对数式的互化。例2:(2010·天津高考文科·T6)设554alog4blogclog25,(3),,则()(A)acb(B))bca(C))abc(D))bac【命题立意】考查利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小。【思路点拨】根据对数的性质及对数函数5logyx的图像,可得550log3log41,4log51c。【规范解答】选D,由对数函数5logyx的图像,可得550log3log41,255(log3)log4b,又4log51,cbac。【方法技巧】比较对数函数值的大小问题,要特别注意分清底数是否相同,如果底数相同,直接利用函数的单调性即可比较大小;如果底数不同,不仅要利用函数的单调性,还要借助中间量比较大小。要点考向二:函数与映射概念的应用问题考情聚焦:1.该考向在高考中主要考查与函数、映射概念相关的定义域、映射个数、函数值、解析式的确定与应用。2.常结合方程、不等式及函数的有关性质交汇命题,属低、中档题。考向链接:1.求函数定义域的类型和相应方法。2.求f(g(x))类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,面对于分段函数的求值问题,必须依据条件准第3页共15页确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性。3.求函数的解析式,常见命题规律是:先给出一定的条件确定函数的解析式,再研究函数的有关性质;解答的常用方法有待定系数法、定义法、换元法、解方程组法、消元法等。4.映射个数的计算一般要分类计数。例3:(2010·天津高考理科·T8)若函数f(x)=212log,0,log(),0xxxx,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是()(A)(-1,0)∪(0,1)(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-1,0)∪(1,+∞)(D)(-∞,-1)∪(0,1)【命题立意】考查对数函数的图像和性质。【思路点拨】对a进行讨论,通过图像分析f(a)f(-a)对应的实数a的范围。【规范解答】选C,当a0,即-a0时,由f(a)f(-a)知212loglogaa,在同一个坐标系中画出2logyx和12logyx函数的图像,由图像可得a1;当a0,即-a0时,同理可得-1a0,综上可得a的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞)。要点考向三:函数图象问题[来源:学科网ZXXK]考情聚焦:1.函数图象作为高中数学的一个“重头戏”,是研究函数性质、方程、不等式的重要武器,已成为各省市高考命题的一个热点。2.常以几类初等函数的图象为基础,结合函数的性质综合考查,多以选择、填空题的形式出现。考向链接:1.基本初等函数的图象和性质,函数图象的画法以及图象的三种变换。2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系、结合图象研究。3.在研究一些陌生的方程和不等式时常用数形结合法求解。例4:(2010·山东高考理科·T11)函数22xyx的图象大致是()【命题立意】本题考查函数的图象,函数的基础知识以及数形结合的思维能力,考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力。【思路点拨】利用特殊值对图象进行估计分析.第4页共15页【规范解答】选A,因为当x=2或4时,220xx,所以排除B、C;当x=-2时,2x-2x=1404,故排除D,所以选A.要点考向四:函数性质问题考情聚焦:该考向是各省市高考命题大做文章的一个重点。常与多个知识点交汇命题,且常考常新,既有小题,也有大题,主要从以下三个方面考查:1.单调性(区间)问题,热点有:(1)确定函数单调性(区间);(2)应用函数单调性求函数值域(最值)、比较大小、求参数的取值范围、解(或证明)不等式。2.奇偶性、周期性、对称性的确定与应用。3.最值(值域)问题,考题常与函数的其他性质、图象、导数、基本不等式等综合。例5:(2010辽宁文数)(21)(本小题满分12分)已知函数2()(1)ln1fxaxax.(Ⅰ)讨论函数()fx的单调性;(Ⅱ)设2a,证明:对任意12,(0,)xx,1212|()()|4||fxfxxx.解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+),2121()2aaxafxaxxx.当a≥0时,()fx>0,故f(x)在(0,+)单调增加;当a≤-1时,()fx<0,故f(x)在(0,+)单调减少;当-1<a<0时,令()fx=0,解得x=12aa.当x∈(0,12aa)时,()fx>0;x∈(12aa,+)时,()fx<0,故f(x)在(0,12aa)单调增加,在(12aa,+)单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)单调减少.所以1212()()4fxfxxx等价于12()()fxfx≥4x1-4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则1()2agxaxx+4=2241axxax.于是()gx≤2441xxx=2(21)xx≤0.第5页共15页从而g(x)在(0,+)单调减少,故g(x1)≤g(x2),即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2,故对任意x1,x2∈(0,+),1212()()4fxfxxx.【高考真题探究】1.(2010·上海高考理科·T8)对任意不等于1的正数a,函数f(x)=log(3)ax的反函数的图像都经过点P,则点P的坐标是【命题立意】本题考查对数函数的性质及反函数的有关性质.【思路点拨】根据对数函数的性质找到原函数过的定点,再由反函数的性质找到关于直线y=x的对称点.【规范解答】)2,0(.因为函数)3(log)(xxfa的图像过定点)0,2(,由反函数的性质可知,反函数的图像过定点)2,0(.2.(2010·全国Ⅰ理科·T8)设2log3a,2lnb,215c,则()AabcBbcaCcabDcba【命题立意】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用以及数形结合的数学思想.【思路点拨】利用换底公式,将2log3a,2lnb变成以2为底的对数.根据对数函数和指数函数的图像进行分析.【规范解答】选C.a=3log2=21log3,b=In2=21loge,而22log3log1e,所以ab,c=125=15,而2252log4log3,所以ac,综上cab.3.(2010·重庆高考理科·T5)函数412xxfx的图象()A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称【命题立意】本小题考查函数的对称性,考查奇函数、偶函数的概念,考查运算求解的能力,考查数形结合的思想方法.【思路点拨】根据选项,可以判断函数()fx是否为奇函数、偶函数,即判断()fx与()fx的关系;如果不是,再判断选项B,C是否正确.第6页共15页【规范解答】选D【解法1】412xxfx(41)424xxxx21422xxx41()2xxfx,是偶函数,图象关于y轴对称;【解法2】241(2)122xxxxfx22xx,有()22()xxfxfx,所以函数412xxfx的图象关于y轴对称.【方法技巧】(1)指数运算24(2)xx在变形整理中起其重要作用;(2)分式加法的逆向运算是本题的变形技巧.4.(2010·北京高考文科·T6)给定函数①12yx,②12log(1)yx,③|1|yx,④12xy,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④【命题立意】考查几类基本初等函数的单调性及简单的图像变换。【思路点拨】画出各函数的图象,再判断在(0,1)上的单调性。【规范解答】选B。各函数在(0,1)上的单调性:①增函数;②减函数;③减函数;④增函数。5.10.(2010·浙江高考理科·T10)设函数的集合211()log(),0,,1;1,0,122Pfxxabab,平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Qxyxy,则在同一直角坐标系中,P中函数()fx的图象恰好..经过Q中两个点的函数的个数是()(A)4(B)6(C)8(D)10【命题立意】本题考查对数型函数的图象,集合元素的表示,考查学生对数运算能力和数形结合的思想。【思路点拨】把Q中的点表示在坐标系中,逐个分析P中的每一个函数的图像,找出恰过两点的函数。【规范解答】选B。Q中有12个点,表示在坐标系中;P中共有12个函数,逐个分析P中的每一个函数的图像,可知恰过两个点的函数有2()logfxx,2()log1fxx21()log()2fxx,21()log()12fxx,2()log(1)1fxx,2()log(1)1fxx共6个。第7页共15页6.(2010·江苏高考·T11)已知函数21,0()1,0xxfxx,则满足不等式2(1)(2)fxfx的x的取值范围是_____。【命题立意】本题考查分段函数的图像、单调性以及数形结合和
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