2012数值分析试卷答案

昆明理工大学2012级硕士研究生试卷科目：数值分析考试时间：出题教师：集体考生姓名：专业：学号：题号一二三四五六总分分数考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。一、填空题（每空2分，共40分）1．设*0.231x是真值0.228x的近似值，则*x有位有效数字，*x的相对误差限为。2．设133)(47xxxxf，则]2,,2,2[710f，]2,,2,2[810f。3.过点)0,2(),0,1(和)3,1(的二次拉格朗日插值函数为)(2xL=，并计算)0(2L。4．设32()3245fxxxx在1,1上的最佳二次逼近多项式为，最佳二次平方逼近多项式为。5．高斯求积公式)()()(110100xfAxfAdxxfx的系数0A，1A，节点0x，1x。6．方程组bAx，,ULDA建立迭代公式fBxxkk)()1(，写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，JacobiB，SeidelGaussB。7．1102201011022A，其条件数2()CondA。8．设2113A，计算矩阵A的范数，1||||A=，2||||A=。9．求方程()xfx根的牛顿迭代格式是。10．对矩阵513252321A作LU分解，其L=________________，U=__________________。二、计算题（每题10分，共50分）1.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足:1)1(,0)0(,0)0('ppp,1)1(,'p,1)2(p并写出其余项表达式（要求有推导过程）。2.若用复合梯形公式计算积分dxex10，问区间[0,1]应分成多少等分才能使截断误差不超过51021?若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0,1]应该分成多少等份?由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。x00.250.50.751xe11.281.642.112.713.线性方程组bAx，其中18.04.08.014.04.04.01A，Tb]3,2,1[，（1）建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的分量形式。（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗?4.已知如下实验数据4,,1,0),,(iyxii,用最小二乘法求形如xaay10的经验公式，并计算最小二乘法的误差。ix12345iy44.5688.55.用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题0)0(,10022yyxdxdy，取步长,1.0h计算到2.0x（保留到小数点后四位）。三、证明题（共10分）1．如果A是对称正定矩阵，则A可唯一地写成TLLA，其中L是具有正对角元的下三角阵。昆明理工大学2012级硕士研究生试卷答案一填空题（每空2分，共40分）1.20.025或0.02162.303.)2)(1(23xx，34.2754xx2119255xx5.0.280.390.290.826.ULDHULDHSGJ11)(),(7.18.|A||1=3_，2316299||||2A9.1()1'()kkkkkxfxxxfx10.153012001L，2400410321U二、计算题（每空10分，共50分）1．求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足:P(0)=0，P’(0)=0，P(1)=1，P’(1)=1，P(2)=1，并写出其余项表达式。解：由题意P(x)=x2(ax2+bx+c)，由插值条件得方程组1)24(412341cbacbacba求解，得a=1/4，b=–3/2，c=9/4。所以)492341()(22xxxxP插值余项为)2()1()(!51)(22)5(xxxfxR2．若用复合梯形公式计算积分dxex10，问区间[0,1]应分成多少等分才能使截断误差不超过51021？若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0,1]应该分成多少等分？由下表数据用复合辛普森公式计算该积分。x00.250.50.751xe11.281.642.112.71解：由于xexf)(，则xexfxf)()()4(''在区间[0,1]上为单调增函数，b-a=1，设区间分成n等分，则h=1/n.,故对复合梯形公式，要求|)(12|)(''2fhabfRT521021)1(121en，)1,0(即52106en，85.212n，因此n=213，即将区间[0,1]分成213等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过51021。若用复合辛普森公式，则要求|)(2180|)(()42fhabfRS5441021)1(21801en，)1,0(4410144en，7066.3n，因此n=4，即将区间[0,1]分成8等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过51021。1401214)]()(4)([6)(kkkkxfxfxfhhS7125.1))()(4)()()(4)((65.0432210xfxfxfxfxfxf3.线性方程组bAx，其中18.04.08.014.04.04.01A，Tb]3,2,1[，（1）建立Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）问Jacobi迭代和Gausse-Seidel迭代法都熟收敛吗？解：（1）Jacobi迭代法的分量形式,2,1,0,)8.04.03()8.04.02()4.04.01()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kxxxxxxxxxkkkkkkkkk，)0(x为任意初始值。Gauss-Seidel迭代法的分量形式,2,1,0,)8.04.03()8.04.02()4.04.01()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kxxxxxxxxxkkkkkkkkk，)0(x为任意初始值。(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵08.04.08.004.04.04.00)(1ULDBJ)32.08.0)(8.0(||2JBI10928203.1)(JB，故Jacobi迭代法不收敛。Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵672.0032.0064.016.004.04.00)(1ULDBSG18.0)(SGB，故G-S迭代法收敛。4.已知实验数据5,,2,1),,(kyxkk，如下表，用最小二乘法求形如xaay10的经验公式，并计算均方误差。ix12345iy44.5688.5解：令xaaxS101)(,10,1x故51),(4000i15),(4010iix15),(4001iix55),(40211iix31),(400iiff5.105),(401iiifxf由法方程得线性方程组5.1055515311551010aaaa解得25.1,45.210aa于是所求拟合曲线为xxS2429.17143.3)(12-范数的误差0.8216675.0))((||||24012iiiyxS5.用改进的欧拉公式（预估-校正方法）解初值问题0)0(,10022yyxdxdy，h为步长，（1）取步长,1.0h计算到2.0x（保留到小数点后四位）。解：（1）由改进的欧拉公式),(),([2),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy因为,1.0h00y，22100),(yxyxf所以2.0,1.0,0210xxx),(0001yxhfyy0，),(),([2110001yxfyxfhyy=0.0005),(1112yxhfyy0.0015)],(),([2|221112.02yxfyxfhyyx=0.0030三、证明题（共10分）1、证明：如果A是对称正定矩阵，则A可唯一地写成TLLA，其中L是具有正对角元的下三角阵。法一：因为A对称正定，A的所有顺序主子式不为零。A有唯一的Doolittle分解ULA其中1112222223111111311122211uauauauauauuuUnnnn0DUD为对角阵，0U为单位上三角矩阵。又因为A是对角正定矩阵TAADUL0=TTLDU0由分解的唯一性TUL0，代入分解式子TLDLA又A对称正定知道niDDuDuiiii,,2,0,11112121221122112211DDuuuuuuuuuDnnnnnn所以TTLLDLDLA)(2121，其中21DL为对角元为正的下三角矩阵。