三角函数经典讲义全集

细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第1页共12页三角函数专题1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3.终边相同的角的表示：（1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2()kkZ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：25；536）（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)()kkZ.（3）终边与终边关于x轴对称2()kkZ.（4）终边与终边关于y轴对称2()kkZ.（5）终边与终边关于原点对称2()kkZ.（6）终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ.如的终边与6的终边关于直线xy对称，则＝____________。（答：Zkk,32）4、与2的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则2是第_____象限角（答：一、三）5.弧长公式：||lR，扇形面积公式：211||22SlRR，1弧度(1rad)57.3.如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(,)xy是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y，secrx0x，csc0ryy。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则cossin的值为＿＿。（答：713）；（2）设是第三、四象限角，mm432sin，则m的取值范围是_______细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第2页共12页（答：（－1，)23）；（3）若0|cos|cossin|sin|，试判断)tan(cos)cot(sin的符号（答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A处(起点是A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若08，则sin,cos,tan的大小关系为_____(答：tansincos)；（2）若为锐角，则,sin,tan的大小关系为_______（答：sintan）；（3）函数)3sin2lg(cos21xxy的定义域是_______（答：2(2,2]()33kkkZ）8.特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin212223010－1624624cos23222110－10624624tan3313002-32+3cot3133002+32-39.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：sincostan,cotcossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数sintancoscoty的值的符号为____（答：大于0）；（2）若220x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是____（答：[0,]4],43[）；yTAxαBSOMP细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第3页共12页（3）已知53sinmm，)2(524cosmm，则tan＝____（答：125）；（4）已知11tantan，则cossincos3sin＝___；2cossinsin2＝____（答：35；513）；（5）已知a200sin，则160tan等于A、21aaB、21aaC、aa21D、aa21（答：B）；（6）已知xxf3cos)(cos，则)30(sinf的值为______（答：－1）。10.三角函数诱导公式（2k）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数。如（1）97costan()sin2146的值为________（答：2323）；（2）已知54)540sin(，则)270cos(______，若为第二象限角，则)180tan()]360cos()180[sin(2________。（答：54；1003）11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　如（1）下列各式中，值为12的是A、1515sincosB、221212cossin细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第4页共12页C、22251225tan.tan.D、1302cos（答：C）；（2）命题P：0tan(AB)，命题Q：0tanAtanB，则P是Q的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件（答：C）；（3）已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值为____（答：725）；（4）131080sinsin的值是______（答：4）；(5)已知0tan110a，求0tan50的值（用a表示）甲求得的结果是313aa，乙求得的结果是212aa，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22，222等），如（1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_____（答：322）；（2）已知02，且129cos()，223sin()，求cos()的值（答：490729）；（3）已知,为锐角，sin,cosxy，3cos()5，则y与x的函数关系为______（答：23431(1)555yxxx）(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值sin50(13tan10)（答：1）；（2）已知sincos21,tan()1cos23，求tan(2)的值细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第5页共12页（答：18）(3)公式变形使用（tantantan1tantan。如（1）已知A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB＝_____（答：22）；(2)设ABC中，33tanAtanBtanAtanB，34sinAcosA，则此三角形是____三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2与升幂公式：21cos22cos，21cos22sin)。如(1)若32(,)，化简111122222cos为_____（答：sin2）；（2）函数2553f(x)sinxcosxcosx532(xR)的单调递增区间为____（答：51212[k,k](kZ)）(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）tan(cossin)sintancotcsc（答：sin）；（2）求证：21tan1sin212sin1tan22；（3）化简：42212cos2cos22tan()sin()44xxxx（答：1cos22x）(6)常值变换主要指“1”的变换（221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等），如已知tan2，求22sinsincos3cos（答：35）.(7)正余弦“三兄妹—sincossincosxxxx、”的内存联系――“知一求二”，如（1）若sincosxxt，则sincosxx__（答：212t)，特别提醒：这里[2,2]t；（2）若1(0,),sincos2，求tan的值。细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第6页共12页（答：473）；（3）已知2sin22sin1tank()42，试用k表示sincos的值（答：1k）。13、辅助角公式中辅助角的确定：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由tanba确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程sin3cosxxc有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数23ycosxsinx取得最大值时，tanx的值是______(答：32)；（3）如果sin2cos()fxxx是奇函数，则tan=(答：－2)；（4）求值：20sin6420cos120sin3222________(答：32)14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222的五点，再用光滑