27-1能量均分原理、麦克斯维速率分布率

1第七章能量均分原理与麦克斯韦速率分布2由分子平均平动动能与温度的关系2021vmkt)(212220zyxvvvmkT23222zyxvvvkTvmx232320kTvmx212120即在x方向上平均分配了kT/2的能量。§7-5.能量按自由度均分定理320202121zyvmvm由于分子运动在哪个方向都不占优势，因此，在y、z方向上也都平均分配了kT/2的能量。气体分子在每个运动方向上分配了kT/2的能量，这种能量在各方向上均匀分布的情况，称为能量按自由度均分原理。kT21注意：上述计算中我们假定分子是刚性小球而得出来的。4例如：物体做一维直线运动，只需一个坐标，则自由度数为1。所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的最少的坐标数。x轮船在海平面上行驶，要描写轮船的位置至少需要两维坐标，即经度和纬度，则自由度为2。1、什么是自由度自由度是描写物体运动时所需的独立坐标的个数。5飞机在天空中飞翔，要描写飞机的空间位置至少需要三维坐标，则自由度为3。问题1、质点以半径r做圆周运动自由度是多少？问题2、但对于火车在轨道上行驶时自由度是多少呢？61.一个质点，描写它的空间位置，需要3个平移（动）自由度，3tzyx),,(zyxPo2.两个刚性质点描写其质心位置需3个平动自由度，t=3zyx),,(zyxP描写其取向还需3个转动自由度，α、β、γ但是由于α、β、γ不是独立的受到1coscoscos222的限制，转动自由度只有两个，r=2两个刚性质点总自由度数523rti73.三个或三个以上的刚性质点需3个平动自由度和3个转动自由度。平动自由度t=3转动自由度r=3总自由度i=t+r=6对于理想气体在常温下，分子内各原子间的距离认为不变，只有平动自由度、转动自由度。zyx),,(zyxP8平动动能转动动能在气体分子的运动中，由于分子间的激烈碰撞（几亿次/秒），使平动动能与转动动能不断转换，使平动动能与转动动能达到相同，即每个转动自由度上也平均分配了kT/2能量。由此可知，分子有i个自由度，其平均动能就有i份kT/2的能量。分子平均动能kTiE22、能量按自由度均分9（1）单原子分子气体例如：氦气（He）、氖气（Ne）、氩气（Ar）等为单原子分子气体。其模型可用一个质点来代替。平动自由度t=3转动自由度r=0总自由度i=t+r=3+0=3（2）双原子分子气体例如：氢气（H2）、氧气（O2）、氮气（N2）等为双原子分子气体。其模型可用两个刚性质点模型来代替。平动自由度t=3转动自由度r=2总自由度i=t+r=3+2=510（3）多原子分子气体例如：二氧化碳气体（CO2）、水蒸气（H2O）、甲烷气体（CH4）等为多原子分子气体。其模型可用多个刚性质点来代替。平动自由度t=3转动自由度r=3总自由度i=t+r=3+3=6113、气体分子的内能E=分子的动能+•对于理想气体而言，分子间的作用力忽略不计，分子与分子间的势能为0。•由于只考虑常温状态，分子内的原子间的距离可认为不变，则分子内原子与原子间的势能也可不计。分子的平均能量为kTi2分子与分子间的势能+分子中原子与原子间的势能ε=分子平均动能124、理想气体的内能（1）分子的平均动能为:kTi2（2）如果系统有N个气体分子:NkTiE2RTiNNA2（3）质量为m的气体能量为：RTiMmE2气体内能RTiNNA2RTi2TNNRiA213由此可得理想气体的内能为：单原子分子RTE23双原子分子RTE25多原子分子RTE3温度发生改变ΔT=T2－T1时，理想气体的内能变化为：)(212TTRiETRi214例1：已知在273k，1.0×10－2大气压时，容器内装有双原子分子理想气体，其密度为ρ=1.24×10－2kg/m3。求（1）方均根速率，（2）气体的摩尔质量,(3)平均平动动能和转动动能是多少？(4)0.3mol的该气体内能是多少？解：由2031vnmP231vPv322521024.110013.1100.13sm/495再由MRTv32得23vRTMg2849527331.83215平均平动动能和转动动能kTEt232731038.12323J211065.5kTErJ211076.30.3mol的该气体内能为RTE2527331.83.025J170116虽然单个分子速率不可预知，但是大量分子的速率分布遵循统计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按速率的分布规律。一、速率分布函数§7-6.麦克斯韦速率分布171860年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律：2/3024)(kTmvf1.f(v)~v曲线讨论ov)(vf0)(0vfv时0)(vfv时kTvmev2220182.在速率为v,速率区间为dv内分子出现的概率ov)(vfdvvfNdN)(dv)(vfNdvdNvf)(2/3024kTmkTvmev2220dv193.在f(v)~v曲线下的面积为该速率区间内分子出现的概率。ov)(vf10)(vvdvvfNN0v1v)(vf204.在f(v)~v整个曲线下的面积为1-----归一化条件。ov)(vfdvNdvdNdvvf00)(分子在整个速率区间内出现的概率为1。NdNN011NN21NdvdNvf)(•表示在速率v附近，单位速率区间内分子出现的概率，即概率密度。•或表示在速率v附近，单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。麦克斯韦首先从理论上推导出理想气体的速率分布函数。二.速率分布函数的物理意义22三、麦克斯韦速率分布律的应用利用麦克斯韦速率分布率可计算最可几速率、方均根速率、平均速率等物理量。1.最可几速率vP最可几速率表示在该速率下分子出现的概率最大。ov)(vfpv气体分子各种运动速率都有，在哪个速率下出现的概率最大，即求f(v)的极大值对应的速率。02mkTvp23讨论1.vP与温度T的关系pvT曲线的峰值右移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值降低。12TTov)(vf1pv2pv2T1T24pvm0曲线的峰值左移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值升高。12mmov)(vf1pv2pv2m1m2.vP与分子质量m0的关系02mkTvp25例：求空气分子在27ºC时的最可几速率vP解：由公式MRTvp23102930031.82pvK300Tg/mol29Mm/s414262.平均速率气体分子在各种速率的都有，那么平均速率是多大呢？vdvvvfv)(02/30024kTm利用积分公式10!naxnandxex设,20kTma2/32/324avdvvekTvm3220,2vx1n2202dvevav（上下同乘NA）平均速率MRT59.108mkTv27例：求空气分子在27ºC时的平均速率。解：由公式MRTv8,300KT3102930031.88vg/mol29Mm/s1.46928ov)(vfpv2vv4.三种速率的比较MRTv8MRTvp2MRTv3229四、麦克斯韦速率分布律的验证麦克斯韦在1860年从理论上预言了理想气体的速率分布律。60年后，也就是1920年斯特恩通过实验验证了这一规律，后来拉美尔将实验进一步完善。