【数学】第二章-2.2.2.反证法课件(人教A版选修2-2)ppt

2.2.22.2.2反证法【学习要求】1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．【学法指导】反证法需要逆向思维，难点是由假设推出矛盾，在学习中可通过动手证明体会反证法的内涵，归纳反证法的证题过程.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2填一填·知识要点、记下疑难点1．定义：假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等．不成立假设错误原命题成立已知条件假设定义、公理、定理、事实本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点一反证法的概念问题1王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用了什么方法？答反证法．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2上述方法的含义是什么？答假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效问题3反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？答(1)与原题中的条件矛盾；(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；(3)与假设矛盾．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效问题4反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论例1已知直线a，b和平面α，如果a⊄α，b⊂α，且a∥b，求证：a∥α.证明因为a∥b，所以经过直线a，b确定一个平面β.因为a⊄α，而a⊂β，所以α与β是两个不同的平面．因为b⊂α，且b⊂β，所以α∩β＝b.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直线a与平面α有公共点P，则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，这与a∥b矛盾．所以a∥α.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效小结数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知：a∥b，a∩平面α＝A，如图．求证：直线b与平面α必相交．证明假设b与平面α不相交，即b⊂α或b∥α.①若b⊂α，因为b∥a，a⊄α，所以a∥α，这与a∩α＝A相矛盾；本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效②如图所示，如果b∥α，则a，b确定平面β.显然α与β相交，设α∩β＝c，因为b∥α，所以b∥c.又a∥b，从而a∥c，且a⊄α，c⊂α，则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾．由①②知，假设不成立，故直线b与平面α必相交．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点三用反证法证明否定性命题例2求证：2不是有理数．证明假设2是有理数．于是，存在互质的正整数m，n，使得2＝mn，从而有m＝2n，因此m2＝2n2，所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有4k2＝2n2，即n2＝2k2，所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾．由上述矛盾可知假设错误，从而2不是有理数．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效小结当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点四用反证法证明“至多”、“至少”“唯一”型命题例3若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．证明假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设αβ，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效小结当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，所以a＋b＋c0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角B本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°B本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3．“ab”的反面应是()A．a≠bB．abC．a＝bD．a＝b或abD本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A．a不垂直于cB．a，b都不垂直于cC．a⊥bD．a与b相交D本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处5．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．证明由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝ba.如果方程不止一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，①ax2＝b.②①－②，得a(x1－x2)＝0.因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．反证法证明的基本步骤是什么？(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2．反证法证题与“逆否命题法”是否相同？反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．本课时栏目开关填一填研一研练一练