散度和旋度

§2.4稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCEANDCURLOFTHESTEADYMAGNETICFIELDS我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：磁场“高斯定理”(2.4-1)安培环路定理(2.4-2)由高斯积分变换定理于是从磁场的“高斯定理”(2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程：▽.B=0（2.4-3）（比较：电场的散度方程▽.E=/0）再由斯托克斯积分变换定理由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B=0J（2.4-4）（比较：静电场的旋度方程▽×E=0）(2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质.方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立.（2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B≠0，稳恒磁场的B线在电流分布点周围形成涡旋，而在J=0的地方，▽×B=0，涡旋不是在此处形成.5.关于磁单极子(MagneticMonopole)按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值n=0,±1，±2···（2.4-5）其中，普郎克常数h=6.626196(50)×10-34焦耳秒，e为基本电荷的绝对值.上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n=±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B线发出或终止.假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开qm为r处（2.4-6）那么，对于包围着qm的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成（2.4-7）若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程（2.4-8）我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的.此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到（2.4-9）0称为磁通量子，它由两个基本的物理常量e和h组成.（2.4-9）式表示：通过包围着净磁荷的任意闭合曲面之磁通量，一定是磁通量子0的整数倍.磁通量子化现象确实是存在的，它已经由B.S.Deaver,Jr.和W.M.Fairbenk最先于1961年在超导体内观测到[1]，但这是超导体内自旋相反的电子凝聚成量子态——“库栢对”（Cooperpair）的结果，似乎与磁荷是否存在这个问题无关.1982年，B.Cabrera等曾经报道用超导量子干涉仪观测到一个可能是磁单极子的记录[2,3]，但未能获得普遍认可.[1]B.S.Deaver,Jr.,andW.M..Fairbenk,Phys.Rev.Lett.7(1961)43.[2]B.Cabrera，Phys.Rev.Lett.48(1982)1378.[3]B.Cabrera，et,al.,Phys.Rev.Lett.51(1983)1933.梯度Gradient散度divergence旋度curl的物理意义时间与空间是物理最基本的物理量：我们也常想了解物理量随时间变化因此定义如速度＝位移随时间变化率,加速度=速度随时间变化率,必v=能量随时间变化率等,因为时间是纯量所以处理起来还算比较简易,我们也经常想了解物理量随空间的变化,但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是有所谓梯度/散度与旋度等数学运算.力做孕i以将能量储存成位能dU=-Fx*dx-Fy*dy-Fz*dz(或者以向量内积F．dr表示)因此反过来可知Fx=-dU/dx,Fy=-dU/dy,Fz=-dU/dz因此定义Ｆ＝Fxi+Fyj+Fzk=-▽U其中▽U=du/dxi+dU/dyj+du/dzk称为位能Ｕ的梯度（有没有联想到梯田的高度差！）以重力场为例水平方向能量都一样因此重力水平方向没有差值因此水平方向没有作用力但是垂直方向升高某高度位能会增加因此作用力向下（因为力是负的梯度）位能随高度增加梯度是正的因此作用力就朝下（负号的意义）若是很短的距离内位能改变很大表示作用力很大（是否想到较陡的山）若是相同距离内位能变化较小则表示作用力也比较小（较平缓的山坡）因此从能量随空间的分布我们可以得知作用力的分布这就是梯度的用途！接下来谈一谈电场的散度与磁场的旋度：电场其实就是单位电荷所受的力（电位就是单位电荷的电能）电场源自于电荷磁场源自于电流电场和磁场最大的不同在于电力方向在两电荷的连心在线或者说电场是径向力而在电流的方向上没有磁场磁场存在于与电流方向垂直的平面方向其实电与磁可说是一体的两面（这留待以后再详述）反正你我都没有人亲眼看过电场或磁场我们都只能观察到力的效应电于电磁作用力在连心线方向的便是电场与连心线方向垂直的便是磁场散度主要是用于类似电场这类连心线方向的场（开放电力线）而旋度则适用于类似磁场这类（封闭磁力线）的场．例如漩涡的水流中任一点其水流方向与中心点联机并非一致例如电场的散度和产生径向场的源（电荷量）成正比▽．Ｅ＝ρ/ε出现ε只是因为单位选择的因素而磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ黄福坤(研究所)张贴:2006-10-2322:25:30关键词:|电场:2|电荷:1谈到电场的散度▽．Ｅ＝ρ/ε（▽．Ｅ＝dEx/dx+dEy/dy+dEz/dz其中Ex,Ey,Ez为电场的各分量）忍不住就和电位Ｖ的梯度连在一起谈已知Ｅ=-▽V将以上两者合并则得到▽2V=-ρ/ε于是得到d2V/dx2+d2V/dy2+d2V/dz2=-ρ/ε在电荷不存在的区域上式的右边为零于是变成Laplace'sequation（有源则称poission'sequation）(当然以上所写类似d/dx等正确写法是偏微分但是不好输入因此以全微分写法代之)从数值分析的角度可知任何满足Laplace的区域其电位数值恰好是四周电位的平均值哇这样谈下去会愈谈愈多还是先停一下要是网友有兴趣再深入讨论吧！蔡承宸荣誉点数32点(高中职)张贴:2006-10-2701:09:17关键词:|强度:1|电流:3|磁场:3Quote:在2006-10-2321:32:24,黄福坤写了:磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ我想请问两个问题：(一).上面式子的物理意义是不是「若空间中有磁场分布，则必有若干个面电流密度不为零的点存在」以及「空间中的某一位置点P有面电流密度存在，则使得该点产生一有旋的磁场。」？(二).若空间中有任意相异两点具有相同的面电流密度，那么该两点的磁场强度是否相等？黄福坤(研究所)张贴:2006-10-2709:03:48关键词:|电流:3|磁场:1首先要确认所讨论的系统环境例如某区域内只有均匀磁场则▽×Ｂ=0即使某区域内有▽×Ｂ不为零,不见得表示该区域内有电流但是若某面积上环场积∮Bdι不为零则该面积内可能有电流或者电通量变化（因为还没谈到另一项▽×Ｂ=μJ+μεdE/dt）面电流密度J决定的是该点附近空间的行为而不是该点▽×是邻近点随空间的变化并非该点！所以问题二只能说不一定！HydrogenDioxide荣誉点数24点(研究所)张贴:2006-11-0215:00:29关键词:|磁场:1有关μoεoμε不能混在一起用吧如果是物质中的电厂以ε(=εoεr)物质中的磁场==以μ=μoμr真空的话就直接用μoεo黄福坤(研究所)张贴:2006-11-0216:23:33因为我之前的讨论并没有限制于真空因此用μ,ε若是真空中算是其中一个特例则变成μo,εo并没有混用！HydrogenDioxide荣誉点数24点(研究所)张贴:2006-11-0223:47:57喔原来是这样子啊^^HydrogenDioxide荣誉点数24点(研究所)张贴:2006-11-0312:43:14关键词:|位移:1|位能:1|向量:2|电磁:3|电场:1|电荷:2|磁场:5谈一下我对这些向量运算的看法^^我以前在念电磁学静电学和磁学前半部这些章节的时候其实我没有在乎太多「数学」的东西因为电磁毕竟是物理不是数学所以也就是这样我在理解梯度散度旋度的时候就是如下这样想象(梯度是将过去我们日常生活中说的「变化」给予科学化的概念)譬如走上楼梯往上爬总会感觉地心引力反抗我们「地心引力反抗我们往上(y方向),但我们毕竟有往上发生位移的变化(dy)也确实相对于地面储存了位能(dU)啊」因此而有「每增加了一份的dy,就有相应的dU增加了」所以:自己在爬升过程中出力dU/dy*jj表示方向向上而自己的出力相当于反抗地球对自己的吸引力因此-F=dU/dy*j或F=-dU/dy*j同理,在电磁学中,E=-dV/dx*i(一维x轴向);或E=-▽V(三维x,y,z都有)电场的「来源」为电荷▽．E＝ρ／ε磁场的来源非磁荷▽．B＝0因此很容易想到磁场应该不是由点源散发出来的,而是▽xB=μＪJ为体电荷密度由旋度的表示法(如下的行列式)可知是该运算(▽x)随空间的变化而非该点(x,y,z)的变化｜ｉｊｋ｜｜ＢｘＢｙＢｚ｜＝μＪ｜ｄ／ｄｘｄ／ｄｙｄ／ｄｚ｜因行列式必须降阶展开磁场各方向的分量(Bx,By,Bz)必定对空间做微分即旋度的运算系物理量「随空间作变化」，并非「(x,y,z)对空间做微分」两者的物理意义有差!以下提供各运算的英文：梯度－gradient;散度－divergence;旋度─curlPS:themagneticfield'sspecialproperties磁场具有封闭的力线且无磁单极（▽．Ｂ＝０），因▽．（▽ｘ）为零的特性，故可定义不可测的向量磁位Ａ▽．（▽ｘＡ）＝０；Ｂ＝▽ｘＡ磁场遵守劳伦兹规范▽．A+εμdV／dt＝0[这篇文章被编辑过:HydrogenDioxide在2006-11-0411:00:24]张雅媚(大学理工科系)张贴:2007-05-2615:51:42很有条理的记法^^黄福坤(研究所)张贴:2007-06-0500:30:20关键词:|位能:1|向量:5|电磁:1|电场:4|电荷:1|电流:1|磁场:4梯度是用来作用空间中纯量场的一个数学运算.可以用来了解纯量场随空间的变化正如所举以在地图上标示出某区域各点高度则梯度代表该点最陡的向量!范例：若是纯量场对应重力位能U,则U的梯度▽U与该点重力向量F的关系是F=-▽U.而散度与旋度则是用来作用于向量场的数学运算在处理问题时我们经常希望找出两种互相独立的坐标去描述问题如平面的点可以用x,y两互相垂直（垂直就是互相独立不相干）去描述平面上任何一种点而散度与旋度是用来描述所有向量场的两独立『坐标』！任何向量场都可以用散度场与旋度场的线性组合表示.恰好电磁场中电场仅有散度(而无旋度),而磁场仅有旋度（而无散度）电场可用电力线描述磁场可用磁力线描述稳定的水流也可以用流线来表示漩涡形状的磁力线会有旋度（磁力线封闭,漩涡的水流线不见得封闭但是都有旋度）磁场的旋度▽×B=μI+με∂E/∂t也就是旋度的值和产生旋度场的源（电流或电场变化成正比）电场散度▽‧E=ρE/ε也就是散度的值和产生散度场的源（电荷）成正比对于水流若该处是水源散度值为正,若是下水道水会流失之处散度值为负其余则散度值为零.§1.7静电场的散度和旋度现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程——散度方程和旋度方程.1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848）在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比的极限(1.7-1)为矢量场A在该点的散度（divergenceofA）它是一个标量.显然若则该点散度▽·A?0，该点就是矢量场A的一个源点若则该点散度▽·A=0，该点不是矢量场A的源点若所有点上均有▽·A=0，A就称为无散场.在直角坐标系中(1.7-2)▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850.高斯定理（G