第3章动力计算习题

下一页上一页返回退出习题训练结构动力计算习题训练求解集中质量（质点）对应−结构本身固有的动力特性；−结构的动力响应；例1设直杆的轴向变形不计，图示体系的动力自由度为多少？mm(a)(b)1223m1自由度为2例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体系的动力自由度数为多少？=∞EI1EIEI12mm自由度数5=∞1EIEI12mmEI例2：图a所示结构频率为ωi，求图b所示结构频率ω。(a)(b)k1k2k3ik解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚度系数ki之和.k=k1+k2+k3232221321mkkkmk例3：图a所示结构周期为Ti，求图b所示体系周期。mmi1kkkk(a)(b)23解：图b体系为串联弹簧，其柔度δ（刚度系数k的倒数）等于各弹柔度δi（簧刚度系数ki的倒数）之和。321321111kkk2322213212)111()(2π2π2π2πTTTkkkmmkmT返回目录mmEIEIEI2方向1方向2解：mm300M体系的质点位移编号如图所示，杆长均为l，写出体系的质量矩阵M和频率方程。思考题1123284M321384M2例4.悬臂梁上作用3个质量分别为m1=m2=m,m3=0.5m的质点,梁的EI为常数，试求此体系的自振频率和振型。[解](1)求频率(a)mm0.5m4m4m4m123M412341用柔度法。可分别在1、2、3点作用单位力，画出弯矩图，利用图乘法就可以求出各柔度系数值fij。EIfEIf3512,3642211EIff31602112EIff38963223EIf3172833EIff32563113把求得的系数代入柔度法频率方程：EIfEIf3512,3642211EIff31602112EIff38963223EIf3172833EIff325631130131728238963256389621351231603256231601364222EImEImEImEImEImEImEImEImEIm0111222112222221111222111nnnnnnnnnfmfmfmfmfmfmfmfmfm解上述方程可得：mEImEImEI653.0264.0,0465.0321（2）求振型：0)3()2(1131728238963256389621351231603256231601364222EImEImEImEImEImEImEImEImEIm由柔度法公式：012IFM展开得：代入mEI0465.01由上述方程的任意两式可解得：33.3)2(117.6)3(1同样代入mEI264.02可解得：同样代入mEI654.03可解得：001.1)2(2405.1)3(2716.0)2(345.0)3(3则振型向量为：17.633.311405.1001.11245.0176.013振型图如下：13.336.17110.7160.451.4051.001第一主振型第二主振型第三主振型振型的动态显示(c)(d)(e)kkkkkkkkk312111322212332313111m3m2m1I2I1I4I34m4m4mI4I4例5.单跨三层平面刚架如图所示，假定刚架的质量全部集中在各层横梁上，m1=m2=270t,m3=180t。各柱截面的惯性矩。I1=3.26710-3m4,I2=2.6110-3m4,I3=1.30710-3m4,横梁I4=∞，材料弹性模量E=200Gpa。忽略杆的轴向变形,求刚架的自振频率和振型。解:(1)体系由3个自由度；采用刚度法计算。现计算刚度系数I2I1I3m1m2m322203113kkmNlEIlEIk/10441212126323111mNlEIlEIk/10294212126333222mNlEIk/109821263333mNlEIkk/101962126322112mNlEIkk/10982126333223（2）求各阶频率把计算得到的系数代入频率方程。03113kkmNlEIlEIk/10441212126323111mNlEIlEIk/10294212126333222mNlEIk/109821263333mNlEIkk/101962126322112mNlEIkk/1098212633322300000003212333231232221131211mmmkkkkkkkkk011011532021545109862MK231098180令则：0.4,6665.1,3335.0321方程的实根为：1147.13s1112.30s1167.46s刚架的三个自振频率为：（3）求振型将计算的结果代入方程：0)(2MK0)3()2()1(11011532021545109862)(MK3335.01将代入上式，令1（3）=1，展开任意两个方程可解得：φ1(1)=0.3332，φ1(2)=0.6665，第一主振型为：φ1={0.33320.66651}T6665.12将代入上式，令2（3）=1，同样可解得：φ2(1)=-0.6665，φ2(2)=-0.6665，第二主振型为：φ2={-0.6665-0.66651}T0.43将代入上式，令3（3）=1，同样可解得：第三主振型为：φ3={4.0-3.01}T或φ3={1-0.750.25}T（4）刚架的振型图振型的动态显示0.6665yx123456780.33321yx123456780.66650.66651yx1234567810.750.25返回目录例6：求图a所示结构的自振频率，EI=常数,弹簧的刚度系数k=6EI／l3。解：本题的重点是求柔度系数，用力法，取图b的基本体系。力法典型方程为11P1111kXX，因此应用图乘法求出系数并代入方程解得8981XX1=11X19BABMP图(d)32/3ll(c)1图M2AF=BAl/BmkA12l9F=1(a)(b)EIlkX2674311342671mlEIm，另解：体系简化成并联弹簧体系（图b），设梁在质点m处的刚度系数为k2，k2=1/2，由M图（图c）可求得2EIlllllllEI2434)3292329221329239221(132324243lEIk3214267mlEImkk12/9lABM图F=32/3l(a)l/BmkA1(c)(b)k1k2kmkC12(a)m例7：已知图a刚架受简谐荷载作用，θ=0.6ω,绘出动力弯矩图Md，并求柱顶最大位移ymax。sinθtEImlEIEIF(a)FI1F(b)1M1F(c)2l/2l/2l/sinθtsinθtl/2/2l/2l解：利用对称性取半边结构如图b所示。柱顶位移111IP11sin)(FtFtyEIl243P1EIl12311，代入方程，得)(24sin24)(1431tyEIlmtEIFlty惯性力：)(2111ItylmF（注意：质量应减半）1/8（d)F=3/8l（f)11MMFl17/64M(Fl)P17/6433/641/8（e)17/6417/6433/64sinθtd1/81/81（)sinθtEImlEIEIF(a)FI1F(b)1M1F(c)2l/2l/2l/sinθtsinθtl/2/2l/2lsinθtEImlEIEIF(a)FI1F(b)1M1F(c)2l/2l/2l/sinθtsinθtl/2/2l/2l1/8F=3/8l11MMFl17/64MFlP17/6433/641/817/6417/6433/64sinθtd1/81/81（)()(d)(e)(f)由于4311242121lmEIllmEIm，代入上式，则方程变为tEIFltytysin24)()(32121只考虑稳态振动，设方程的特解tAtysin)(11代入方程解得EIFlEIFlA38425)(24322231，所以tEIFltysin28425)(3EIFly384253maxM图如图f所示。例8：求图a所示体系的自振频率及主振型。梁EI=常数。lEIm∞=mmm(a)(b)(c)反对称l/l/正对称221__M111l/__M1__M2l/38l/316l/532l/283解：将原结构化成正对称和反对称半结构分别计算（图b、c）。EIlllllEIsEIMM1925)8318332(22211d3111EIlllllEIsEIMM7687)3253116332(22211d3222311151921mlEIm322277681mlEIm，当ω=ω1时，振型为正对称，则12111YY当ω=ω2时，振型为反对称，则12212YY返回目录思考题1.结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？2.为什么说结构的自振周期是结构的固有属性？3.动力位移总是否要比静力位移大一些？4.在振动过程中，体系的重力对动力位移是否产生影响？返回目录下一页上一页返回退出习题训练自测题CBABAmmEI112EIEI(a)(b)h1.将图a中支座B换成杆BC为图b刚架，杆分布质量不计，I1、I2、h为常数，则图a结构自振周期比图b结构自振周期：()A.大B．小C．大或小取决于I1/I2D．小或相等，取决于hB二、选择填空下一页上一页返回退出习题训练自测题1.在动力计算中，图a、b所示体系的动力自由度分别为：（）（4分）（西南交通大学1997年）A三、考研题选解A.1，4B.2，3C.2，2D.3，4(a)(b)(c)(d)提示:用附加链杆法分析，附加链杆分别如图c、d，有几个附加链杆，就有几个自由度。下一页上一页返回退出习题训练自测题2.已知一单自由度体系的阻尼比为=1.2，则该体系自由振动时的位移方程曲线的形状可能为。（）（2分）(北京交通大学1997年）ttyyABCDtyytD下一页上一页返回退出习题训练自测题主振型主振型m222m211mm2121φ11φ12φφ02221212111mm解3.对图示体系，主振型关于质量的正交条件是_______。（大连理工1995）（3分）下一页上一页返回退出习题训练自测题ll/mMllM12F=1=1FllEIlsEIMM127d3111解：4.试计算图示结构体系质体m水平振动时的自振频率和周期，各杆EI为常数。10分）（东北大学1998、西南交通大学2001年）因此3117121mlEImEImlT37ππ23，下一页上一页返回退出习题训练自测题(a)(b)3lEIk=1kml3k'=KklEIK33解：结构相当于作用在m上两个并联弹簧的），刚度系数K为mlklEImK333因此5.求图a所示体系的自振频率，设EI=常数。（8分）（东南大学1996年）下一页上一页返回退出习