第八节 函数的连续性与间断点

二、函数的间断点一、函数连续性的定义第八节函数的连续性与间断点第一章,:21uuu变量1.增量的定义增量可正可负:,0时当u,121是增大的变到从变量uuuuu,0时当u一、函数连续性的定义.121是减小的变到从变量uuuuu.:12uuuu的增量变量xy0,:),(00xxxxxfy自变量函数0xxx0)(xfyxy从几何上观察:).()(00xfxxfy,)()(:00xxfxfy函数值函数增量:).()(lim00xfxfxx.)(,)(00连续在点函数那么就称如果有定义的某一个邻域内在点设函数xxfyxxfy,0)}()({limlim0000xfxxfyxx2.连续的定义,0xxx设),()(0xfxfy则yxfxf)()(00lim0yx定义1.定义2:在的某邻域内有定义,,)()(lim00xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf设函数若xy0f(x)0x0x0xAxfxx)(lim0问题：函数在点x0连续与存在极限的区别？1.x=x0必须取到2.A=f(x0)f(x0)f(x0)+f(x0)–并且A=f(x0)f(x)在x0连续)()(lim00xfxfxx)(0连续在xxf函数在点0x(1)在点即(2)极限(3)连续,存在;有定义,存在;必须具备下列条件:说明:.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf例1.证:,01sinlim)(lim00xxxfxx,0)0(f又.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx3.单侧连续(1)左连续.)(),()(lim)(0000左连续在则称函数如果xxfxfxfxfxx(2)右连续.)(),()(lim)(0000右连续在则称函数如果xxfxfxfxfxx)()(lim)(000xfxfxxfxx处连续在函数)()()(000xfxfxf.00,20,2)(2的连续性处在讨论函数xxxxxxf例2.解:)2(lim)(lim)0(00xxffxx2)2(lim)(lim)0(200xxffxx2.0)(处连续在点故函数xxf)0()0(ff)0(f.00,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa例3.解:xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af)0()0()0(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)(,,,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续点并且在左端内连续如果函数在开区间baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.xy0)(xfyab;),(内是连续的有理整函数在区间例4.有关有理函数的讨论.:)()()1(多项式有理整函数xf,R0x),()(lim00xfxfxx都有:)()()()2(xQxPxF有理分式函数,0)(0时当xQ),()(lim00xFxFxx都有故有理分式函数在其定义域内每一点连续.例5..),(sin内连续在区间函数证明xy证:),,(xxxxysin)sin(2sin)2cos(2xxx,1|)2cos(|xx|2sin|2||xy)R(||sin.0lim0yx故.),(sin都是连续的对任意函数即xxy.),(cos连续对任意函数xxy.|||2|2xx同理,在在二、函数的间断点(1)函数0x(2)函数)(lim0xfxx不存在;(3)函数存在,但)()(lim00xfxfxx不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点0x之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;例6..1112处在函数xxxy,1112无定义处函数在xxyx11lim21xxx但,2)1(lim1xx.1为可去间断点故xxoy11.可去间断点(极限存在的间断点).1是函数的间断点x例7..00,10,0,0,1)(处在函数xxxxxxxf.0为函数的跳跃间断点x2.跳跃间断点(单侧极限存在但不相等的间断点))(lim0xfx)1(lim0xx,1)(lim0xfx)1(lim0xx,1)0()0(ffoxy-113.无穷间断点(极限为无穷大的间断点)例8..2πtan处在正切函数xxyxxtanlim2π,,tan2π,的间断点是故函数在此无定义xx.tan2π的无穷间断点是xxxytan2xyo例9..01sin)(处在函数xxxfxy1sin,0)(处没有定义在xxf).11(1sinlim0之间来回振荡和在不存在且xx.0为振荡间断点x4.振荡间断点间断点分类:第一类间断点:)(0xf及)(0xf均存在,若称0x若称0x第二类间断点:)(0xf及)(0xf中至少有一个不存在,称0x若其中有一个为振荡,称0x若其中有一个为,为可去间断点;为跳跃间断点.为无穷间断点;为振荡间断点..,)1(1)(2并判断其类型间断点找出函数xxxxf例10.,1,0)(处没有定义在xxf01)1(lim20xxxx.1,0均为间断点x解:)1(1lim20xxxx)1(1lim21xxxxxxx1lim1,2.1,0为可去间断点为无穷间断点xx内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式1.f(x).e11)(1的间断点的类型确定函数xxxf1.解:.1,0xx间断点为)(lim0xfx因为,;0为无穷间断点所以x,,.1为跳跃间断点所以xxxx1lim1因为,0)(lim1xfx所以xxx1lim1因为,1)(lim1xfx所以思考题:.,),(1lim)(2212baxbxaxxxfnnn和试确定常数内连续在设函数2．解:,1时当x1lim)(2212nnnxbxaxxxf,1x,21)1(baf又,21)1(baf,1)(处连续在根据xxf)(lim)1(1xffxxx1lim1,1,121ba,1)(处连续在根据xxf)(lim)1(1xffxxx1lim1,1,121ba,121,121baba由.1,0ba作业P65:2(2),3(1)(2)(4).