第二章 计算机中数值的表示及运算

《微型计算机硬件技术》-1-微型计算机硬件技术（二—1）计算机基础课系列课程《微型计算机硬件技术》-2-第二章数据信息在计算机中的表示形式1.计算机中各常用计数制的表示及相互转换。2.计算机中数值数据的主要编码形式（原码、反码、补码）。3.二进制定点数和浮点数的表示。4.西文信息、汉字在计算机中的表示。本章重点：《微型计算机硬件技术》-3-2.1数制进位计数制的几个基本概念进位计数制：用少量的数字符号（也称数码），按先后次序把它们排成数位，由低位到高位进行计数，计满进位，这样的方法称为进位计数制基数：进位制的基本特征数，即所用到的数字符号个数。例如十进制用0~9十个数码表示，基数为10权：进位制中各位“1”所表示的值为该位的权常用的进位制：2、8、10、16进制。《微型计算机硬件技术》-4-1.十进制计数制(Decimal)（1）基数:10;（2）符号:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；（3）计算规律:“逢十进一”或“借一当十”；（4）并列表示:N10=dn-1dn-2…d1d0d-1d-2…d-m（5）多项式展开:N10=dn-1×10n-1+…d1×101+d0×100+d-1×10-1+...d-m×10-m其中m、n为正整数,n为整数位数,m为小数位数，Di表示第i位的系数,10i称为该位的权。例如：十进制数123.45的表示123.45=1×102+2×101+3×100+4×10-1+5×10-2等式左边为并列表示法，等式右边为多项式表示法。2.1.1常用的计数制《微型计算机硬件技术》-5-2.二进制(Binary)（1）基数:2（2）符号:0,1（3）计算规律:逢二进一或借一当二（4）二进制的多项式表示:N2=dn-1×2n-1+dn-2×2n-2+…d1×21+d0×20+d-1×2-1+d-2×2-2+…d-m×2-m其中m、n为正整数,n为整数位数，m为小数位数，Di表示第i位的系数，2i称为该位的权。例如:二进制数(1101.01)2的多项式表示：(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2等式左边为并列表示法，等式右边为多项式表示法《微型计算机硬件技术》-6-（5）二进制数的性质移位性质：小数点左移一位，数值减小一半小数点右移一位，数值扩大一倍奇偶性质：最低位为0，偶数最低位为1，奇数（6）二进制数的特点优点：只有0，1两个数码，易于用物理器件表示。■电位的高低，脉冲的有无，电路通断等都容易区别，可靠性高。■运算规则简单；0，1与逻辑命题中的真假相对应，为计算机中实现逻辑运算和逻辑判断提供有利条件。缺点：书写冗长，不易识别，不易发现错误《微型计算机硬件技术》-7-3.十六进制(Hexadecimal)（1）基数:16（2）符号:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F（3）计算规律:逢十六进一或借一当十六（4）十六进制的多项式表示:N16=dn-1×16n-1+dn-2×16n-2+...d1×161+d0×160+d-1×16-1+d-2×16-2+...d-m×16-m其中m,n为正整数,n为整数位数；m为小数位数。Di表示第i位的系数,16i称为该位的权.例如：十六进制数(2C7.1F)16的表示：(2C7.1F)16=2×162+12×161+7×160+1×16-1+15×16-2等式左边为并列表示法，等式等式右边为多项式表示法《微型计算机硬件技术》-8-其定义与十六进制相似，请自学掌握。4.八进制(Octal)《微型计算机硬件技术》-9-2.1.2进位计数制之间的转换按权展开法:先写成多项式,然后计算十进制结果。N=dn-1dn-2...d1d0d-1d-2...d-m=dn-1×Rn-1+...d1×R1+d0×R0+d-1×R-1...d-m×R-m例如:写出(1101.01)2,(237)8,(10D)16的十进制数(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=8+4+1+0.25=13.25(237)8=2×82+3×81+7×80=128+24+7=159(10D)16=1×162+13×160=256+13=2691.R进制转换成十进制的方法《微型计算机硬件技术》-10-2.十进制转换成二进制方法一般分为两个步骤：（1）整数部分的转换除2取余法（基数除法）√减权定位法（2）小数部分的转换乘2取整法（基数乘法）《微型计算机硬件技术》-11-除基取余法：把给定的除以基数,取余数作为最低位的系数,然后继续将商部分除以基数,余数作为次低位系数,重复操作直至商为0。2327余数21631低位2811240122002100250221210201高位(327)10=(101000111)2例如：用基数除法将(327)10转换成二进制数（1）整数部分的转换《微型计算机硬件技术》-12-减权定位法(整数部分的转换)：将十进制数依次从二进制的最高位权值进行比较，若够减则对应位置1，减去该权值后再往下比较，若不够减则对应位为0，重复操作直至差数为0。例如：将(327)10转换成二进制数327-256=711高位71128071-64=71732071607807-4=313-2=111-1=01低位(327)10=（101000111）2《微型计算机硬件技术》-13-把给定的十进制小数乘以2,取其整数作为二进制小数的第一位,然后取小数部分继续乘以2,将所的整数部分作为第二位小数,重复操作直至得到所需要的二进制小数。例如:将(0.8125)10转换成二进制小数。整数部分2×0.8125=1.6251高位2×0.625=1.2512×0.25=0.502×0.5=1.01低位(0.8125)10=(0.1101)2(2)小数部分的转换（乘基取整法)《微型计算机硬件技术》-14-例如:将(0.2)10转换成二进制小数整数部分0.2×2=0.400.4×2=0.800.8×2=1.610.6×2=1.210.2×2=0.400.4×2=0.800.8×2=1.610.6×2=1.21……（至满足需要精度为止）(0.2)10=[0.001100110011…]2思考题（455.0625）=？《微型计算机硬件技术》-15-3.其它进制之间的直接转换法二--八二--十六00000000010008001100011100190102001021010A0113001131011B1004010041100C1015010151101D1106011061110E1117011171111F《微型计算机硬件技术》-16-（1）二进制转换成八进制例如：(10110111.01101)2(10110111.01101)2=(267.32)8八进制:267.32二进制:010,110,111.011,010二进制:10,110,111.011,01从小数点分别向左、向右，每三位二进制数用一位八进制数写。《微型计算机硬件技术》-17-（2）八进制转换二进制例如:(123.46)8八进制123.46二进制001，010，011.100，110二进制1010011.10011(123.46)8=(1010011.10011)2从小数点分别向左、向右，每一位八进制数用三位二进制数写。《微型计算机硬件技术》-18-（3）二进制转换成十六进制例：(110110111.01101)2(110110111.01101)2=(1B7.68)16十六进制:1B7.68二进制:0001,1011,0111.0110,1000二进制:1,1011,0111.0110,1从小数点分别向左、向右，每四位二进制数用一位十六进制数写。《微型计算机硬件技术》-19-（4）十六进制转换成二进制例如:(7AC.DE)16十六进制7AC.DE二进制0111，1010，1100.1101，1110二进制111，1010，1100.1101，111从小数点分别向左、向右，每一位十六进制数用四位二进制数写。(7AC.DE)16=（11110101100.1101111）2《微型计算机硬件技术》-20-2.2数值数据的编码与表示2.2.1数值数据的编码名词解释：真值:正、负号加某进制数绝对值的形式称为真值。例如二进制真值：X=+1011；y=－1011机器数：符号数码化的数称为机器数。常用的几种码制表示法：原码、补码、反码、移码（均有符号位和数值部分组成）《微型计算机硬件技术》-21-1.原码表示法原码表示法用“0”表示正号，用“1”表示负号，有效值部分用二进制的绝对值表示。以下n均表示字长的有效位数。纯小数的原码：X1-2-(n-1)≥X≥0[X]原=1-X=1+|X|0≥X≥-(1-2-(n-1))例如：完成下列数的真值到原码的转换X1=+0.1011011[X1]原=0.1011011X2=-0.1011011[X2]原=1.1011011《微型计算机硬件技术》-22-纯整数的原码：X2n-1-1≥X≥0[X]原=2n-1-X=2n-1+|X|0≥X≥-(2n-1-1)例如：完成下列数的真值到原码的转换X1=+01011011X2=-01011011[X1]原=01011011[X2]原=11011011《微型计算机硬件技术》-23-原码小数的表示范围:[+0]原=0.0000000;[-0]原=1.0000000最大值:1-2-(n-1)对应原码0.11..1最小值:-(1-2-(n-1))对应原码1.11..1表示数值的个数:2n-1思考题：若二进制的位数分别是8位、16位,试求其表示的最大值、最小值及所能表示的数的个数？答案：8位:127/128，-127/128，25516位:32767/32768,-32767/32768,65535《微型计算机硬件技术》-24-原码整数的表示范围:[+0]原=00000000;[-0]原=10000000最大值:2(n-1)-1对应的原码是0111最小值:-(2-(n-1)-1)对应的原码是1111表示数的个数:2n-1思考题：若二进制的位数分别是8、16,求其表示的最大值、最小值及表示数的个数。答案：8位:127，-127，25516位:32767,-32767,65535《微型计算机硬件技术》-25-原码特点：表示简单、易懂;同真值之间进行转换方便;实现乘除运算规则简单;进行加减运算十分麻烦。《微型计算机硬件技术》-26-2.补码表示法模：计量器具的容量或称为模数。例如：4位字长的机器表示的二进制整数为：0000～1111共16种状态，模为16=24n位字长整数(包括1位符号位)的模值为2n，n位纯小数(包括1位符号位)的模值为2,n位数的模值:n位数取全1后并在末位加1。补码的定义：(机器数的最高位表示符号)正数的补码就是正数的本身，负数的补码是原负数加上模。《微型计算机硬件技术》-27-纯小数求补：X1-2-(n-1)≥X≥0[x]补=2+X=2-|X|0X≥-1例如：完成下列数的真值到补码的转换X1=＋0.1011011X2=－0.1011011[X1]补=0.1011011[X2]补=1.0100101《微型计算机硬件技术》-28-X2(n-1)-1≥X≥0[x]补=2n+X=2n-|X|0X≥-2(n-1)例如：完成下列数的真值到补码的转换X1=+01011011X2=－01011011[X1]补=01011011[X2]补=10100101纯整数求补：《微型计算机硬件技术》-29-补码的表示范围:N位纯整数:2n-1-1～-2n-1对应的补码是0111～1000N位纯小数:1-2-(n-1)～-1对应的补码是0.111～1.000均能表示：2n个数在补码系统中,由于0有唯一的编码,[+0]补=[-0]补=0…0因此n位二进制数能表示2n个补码数。《微型计算机硬件技术》-30-原码与补码之间的转换原码求补码正数[