第8.2节 正态总体均值的假设检验――概率论与数理统计(李长青版)

第八章假设检验第二节正态总体均值的假设检验拒绝域的推导设X~N(2)，2已知，需检验：H0:0；H1:0构造统计量0~(0,1)XUNn给定显著性水平与样本值(x1,x2,…,xn)一个正态总体均值的检验00|PXk00HPXk00HXkPnn002HXPun2kun取所以本检验的拒绝域为W：2uuU—检验法00|PHH拒绝为真关于U检验法的其它情形见下表U—检验法表(σ为已知)0000002uuuuuu原假设H0备择假设H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域0XUn(0,1)N若σ未知,nSXT0用样本标准差S代替σ,选用t统计量H0:0；H1:0检验假设当原假设H0为真时，有0~(1)XTtnSn拒绝域的导出方法与前述方法相同，结果见下表00002tt00tttt0~(1)XTSntn原假设H0备择假设H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域T检验法(2未知)例1已知铁水中碳的百分含量为2~4.55,0.108,XN现测定5炉,其碳的百分含量(%)为4.284.404.424.354.37如果方差σ2不变,试问均值μ是否明显下降？(0.05)解要检验假设00:4.55;H≥10:H这是总体均值μ的左边检验,取检验统计量0/XUn在原假设H0为真时，U服从标准正态分布0~(0,1)/XUNn在原假设H0为真时，U服从标准正态分布由已知4.364,x04.55,00.108,由此得检验统计量的观测值为4.3644.553.8511.6450.108/5u查标准正态分布表，得0.051.645u拒绝H0，认为均值有明显下降.例2一手机生产厂家在其宣传广告中声称他们生产的某种品牌的手机的平均待机时间至少为71.5小时,质检部门检查了该厂生产的这种品牌的手机6部,得到的待机时间为696872706675设手机的待机时间由这些数据能否2~(,),XN说明其广告有欺骗消费者之嫌疑？(取α=0.05)解需检验假设00:71.5;H≥10:71.5H由于方差未知，采用t检验法，选取检验统计量如下由于方差未知，采用t检验法，选取检验统计量如下0~(1)/XTtnSn这是左边检验，拒绝域为0.05(5)2.015tt计算统计值得70,x210,s1.162,t因为0.051.1622.015(5)tt拒绝H0,即不能认为该厂广告有欺骗消费者之嫌疑.例3某厂生产小型马达,说明书上写着:这种小型马达在正常负载下平均工作电流不会超过0.8安培.现随机抽取16台马达试验,求得平均工作电流为0.92安培,工作电流的标准差为0.32安培.假设马达的工作电流服从正态分布,取显著性水平为=0.05,问根据这个样本,能否否定厂方的断言?解根据题意待检假设可设为H0:0.8；H1:0.8未知,故选检验统计量:~(15)/16XTTS解根据题意待检假设可设为H0:0.8；H1:0.8未知,故选检验统计量:~(15)/16XTTS查表得t0.05(15)=1.753,故拒绝域为753.1/8.0nsx94.0432.0753.18.0x现94.092.0x故接受原假设,即不能否定厂方断言.解二H0:0.8；H1:0.8选用统计量:~(15)/16XTTS查表得t0.05(15)=1.753,故拒绝域753.1/8.0nsx66.0432.0753.18.0x现66.092.0x故接受原假设,即否定厂方断言.由此例可见:对问题的提法不同(把哪个假设作为上述两种解法的立场不同，因此得到不同的结论.第一种假设是不轻易否定厂方的结论；第二种假设是不轻易相信厂方的结论.原假设),统计检验的结果也会不同.由于假设检验是控制犯第一类错误的概率,使得拒绝原假设H0的决策变得比较慎重,也就是H0得到特别的保护.因而,通常把有把握的,经验的结论作为原假设,或者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.0.80.5357/xsn0.320.80.53570.8428564x现0.920.842856x0.80.5357/xsn0.320.80.53570.7571444x现0.920.757144x把显著性水平α增大，取0.3,0.3(15)0.5357t从而有拒绝原假设，否定厂方断言。接受原假设，否定厂方断言。两正态总体均值差的检验与一个总体的情形类似，两正态总体均值差的检验方法如下表设X~N(112),Y~N(222)两样本X,Y样本样本值观测值(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,ym)显著性水平相互独立,(X1,X2,…,Xn),(Y1,Y2,…,Ym)1–2=(12，22已知)2212~(0,1)XYUnmN2uuuu关于均值差1–2的检验表uu1–21–21–21–21–2原假设H0备择假设H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域1–2=2tt1–21–21–21–21–2tttt11~(2)wXYTnmSTnm2)1()1(2221mnSmSnSw其中原假设H0备择假设H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域22212未知例4对用两种不同热处理方法加工的金属材料做抗拉强度试验,得到的试验数据如下:方法I:313429263235383430293231方法Ⅱ:262428293029322631293228设两种热处理加工的金属材料的抗拉强度都服从正态分布,且方差相等.比较两种方法所得金属材料的抗拉强度有无显著差异.(显著性水平α=0.05)解设两正态总体为21~,,XN22~,,YN要检验的假设为012112:;:HH检验统计量为解设两正态总体为21~,,XN22~,,YN要检验的假设为012112:;:HH检验统计量为1211wXYTSnn在H0为真时，有12~(2),Ttnn又由已知，有1212nn查表得/2120.025(2)(22)2.0739tnnt31.75,x28.67,y211(1)112.25,ns222(1)66.64,ns2.85ws又由已知，有31.75,x28.67,y211(1)112.25,ns222(1)66.64,ns2.85ws计算统计量的观测值,得122.64711wxytsnn比较，有/2122.6472.0739(2)ttnn拒绝H0,平均抗拉强度有显著差异.