第十三章 平面应力状态分析

第13章平面应力状态分析§13.1应力张量的概念及其描述为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁xxy''x'x'y'拉中有切xx根据微元的局部平衡xy''x'x'y'切中有拉yxxyyxxy根据微元的局部平衡重要结论不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。13.2应力张量对于杆件的内力，可以用截面法求得。下面讨论物体的任一个点及其邻域的受力状态。⊿AMnenetσnτnp(n)en表示法向单位矢量。et表示截面内的一个单位切矢量tnnnneep)(分别称为截面上正应力（法向力）和切应力（剪切力），各自代表应力矢量在截面法向n和在截面内的分量。nn,),,(tnRpAFpRA/lim0p称为点M的应力，或全应力。横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。MzFNxFQ由应力的定义可知：应力不仅取决于点的位置，还取决于过该点的截面的方位。而过一点可以做无数个方位不同的截面，由不同截面得到的该点的应力一般不同。为了完整的描述变形固体内一点处的受力情况，引入一点处应力状态的概念：任意一点处各个方向截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。xy''x'yxxyxxy''x'过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明13.3一点应力状态的描述微元（Element）各边边长,,dxdydz微元及其各面上的应力(Three-DimensionalStateofStresses)三向（空间）应力状态yxzxyzxyyxyzzyzxxzTxzxyxxp,,)(Tyzyyxyp,,)(Tzzyzxzp,,)(对于一点处的应力状态为:Tzyxppp)()()(,,zzyzxyzyyxxzxyxTzyxppp)()()(,,zzyzxyzyyxxzxyxyxzxyzxyyxyzzyzxxz由于单元体外力主矩为零,所以切应力满足:yxxyzyyzxzzx所以应力张量是对称矩阵zyzxzyzyxyxzxyxT(PlaneStateofStresses)平面（二向）应力状态xyxyyxxy工程构件中常见的应力状态---平面应力状态0yzxzz00000yxyxyxzyzxzyzyxyxzxyxTyyxxyxxyxxyyxxy单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯剪应力状态(ShearingStateofStresses)三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例13.4Cauchy应力定理Tnynxnppp)()()(yxxxyyxpndydxdsαy平面上一点的邻域取直角三角形面元素，如图斜边上应力矢量为p(n)。0)(dydxdspxyxnx单元处于平衡：0)(dxdydspyxyny解方程得到：sincos)()()()()(yxyyxxnynxTnynxnpppppsincos)(yxxnxpsincos)(yxynypnTnpsincos)(可见，利用Cauchy应力定理，由一点处的应力张量σ可以计算该点处任意法向n截面上的应力矢量p(n)。可见应力张量决定了一点的应力状态。应用实例如图,试确定承受内压薄壁容器内壁任意点的应力状态.plpDlmtＤ)Dp(mmmppD2４t(2l)ttpＤ重要应用实例Ｄmmppd2４)Dp(m0xF()4ππ2mDpD4mpD重要应用实例ppDlt(2l)tt0yF()()lDpl2t2tpD重要应用实例重要应用实例lmt4mpD2tpD13.5莫尔应力圆（Mohrcircleofstresses）xyxyyxxyααnσαταyxxyyxdAcosαdAsinαdA分别列出沿斜截面法线和切向方向的力的平衡方程dAsin)cos(dAxycos)cos(dAxcos)sin(dAyxsin)sin(dAy0dAcos)cos(dAxysin)cos(dAxsin)sin(dAyxcos)sin(dAy02cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyxa由上述两个方程可得到:()222224212xyyxyx该应力圆方程最早由德国工程师OttoMohr（1835-1918）引入，故称为莫尔应力圆，或莫尔圆。莫尔应力圆（Mohrcircleofstresses）()222224212xyyxyx),(xyxa),(xyyd2yxCOxyoxxyyyxAD应力圆几种对应关系二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；点面对应yyxxyxx'xy''caA应力圆C转向对应、二倍角对应x'xy''yxq2qaAx'y'Aa''应力圆在x‘-x’坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上应力对应的点a和d连ad交x‘轴于c点，c即为圆心，cd或ca为应力圆半径yyxxyxADx'xy''a(x,xy)d(y,yx)cRxy2莫尔应力圆画法莫尔应力圆作法xyoxxyyyxAD1.建立比例尺相同的σ-τ右手直角坐标系；2.由坐标在坐标系中确定点D和D’；3.连接DD’交σ轴于点C；4.以点C为圆心，CD为半径作圆。O),(),,(yxyxyx),(xyxD),('yxyDCxxADx'y'x'odacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBE莫尔应力圆的应用应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。轴向拉伸时45º方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。xxBEx'y'BEx'x'y'y'x'y'莫尔应力圆的应用ox'y'x'a(0,)d(0,-)ADbec2×45º2×45ºy'＝x'＝BE莫尔应力圆的应用纯剪应力状态下，45º方向面上,只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。BEx'＝y'＝BE莫尔应力圆的应用例：横截面积A=1000mm2的直杆，受轴向压力F=40kN作用，如图，试用应力莫尔圆方法求其最大切应力截面上的应力。aMP403aMP/aMP/D2002004504509040解：1、选取杆上任一点及其邻域，如图，上下两截面正应力为-40MPa，切应力为0。纵向截面上无应力作用。2、建立σ-τ右手直角坐标系，如图，选取相同比例尺（如1mm=1MPa）。yaMP4033、微元体中x为外法线的面上的应力为（0，0），即原点。以y轴为外法线的面上的应力为（-40。0），连接两点，以中点为半径，20为半径做圆，得到应力莫尔圆。4、圆上点D切应力最大，可见，是由x轴逆时针转动900得到的。所以截面转动450即得到最大切应力平面。5、由图中可以得到最大切应力截面上的应力为：aaMPMP20,20max454500x045045主平面与主方向xyxyyxx'y'x'oc2qpadAD主平面（PrincipalPlane）：=0,与应力圆上和横轴交点对应的面13.6主平面与主应力123yxzxyzxyyxyzzyzxxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元。321,,32113.6主平面与主应力x'y'x'ox'y'x'o主应力主应力（PrincipalStresses）：主平面上的正应力123空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零13.6主平面与主应力()224212xyyxyx()224212xyyxyx主应力表达式主应力排序：1230O),(xyxa),(yxydC没有应力作用的平面亦为主平面,只不过这一主平面上的主应力为零.yxxypq22tan主方向（DirectionofPrincipalStresses)：负号表示顺时转向O),(xyxa),(yxydCpq2主平面的法线方向,称为主方向.对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最大切应力”（MaximumShearingStressinPlane）。x'y'x'omax()224212'''xyyxc面内最大切应力试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题一点处的平面应力状态如图所示。yxxy。30MPa，60xMPa,30xy,MPa40y已知解析法分析二向应力状态解：（1）斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3.58yxxy解析法分析二向应力状态（2）主应力、主平面2yxxyyx224)2(maxMPa3.682yxxyyx224)2(minMPa3.48MPa3.48,0MPa,3.68321yxxy解析法分析二向应力状态主平面的方位：yxxytg2206.0406060,5.1505.105905.150yxxy主应力方向：15.150主应力方向：35.1050解析法分析二向应力状态（3）主应力单元体：yxxy5.1513解析法分析二向应力状态例题分别用解析法和图解法求图示单元体(1)指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上。单位：MPaxyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa,MPaMPa,=30MPaMPacossinsincos.解：(一)使用解析法求解xyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa,MPaM