第4章 恒定电流场一

第4章恒定电场电磁场与波主讲人：丁永华[e-mail]华中科技大学电气与电子工程学院2013年3月•静电场研究在绝缘介质中静止电荷产生的电场，主角是E和D。恒定电场(恒定电流场)研究的问题•恒定电场研究在导体中稳恒流动的电流，即直流问题。主角是J和E。•遵循同样的路线：基本方程－位函数－边值问题－电路参数：电阻。•电流会产生磁场。但当电流分布不随时间变化时，电场和磁场可以分开研究，本章只研究电场。【例】截面积为S，电导率为γ的导体，外加电压U，电流为I。求内部电场和表面电场。电荷运动，导体内部电场不为0第4章恒定电场•恒定电场的电流和电源•恒定电场的基本方程•恒定电场与静电场的比拟•电导与电阻第4章恒定电场•恒定电场的电流和电源•恒定电场的基本方程•导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟•电导与电阻电流：电荷的定向移动形成电流。0dlimdtqqItt电流密度J：空间某点处垂直于电流方向的截面上单位面积内的电流量：ddIJSIJIJSSdSIJSIqSLStStSJv微观上：按体密度分布的电荷，以速度v运动，则电流密度为注意导体内部净电荷密度为0。电流强度I：单位时间内通过某一截面的电荷量均匀分布非均匀iiiJvEJ电导：导体中若存在电场，则产生电流，电流密度正比于电场强度：（欧姆定律的微分形式）焦耳热效应：电流流过导体，导体要发热，称为焦耳热效应。2pEEJ导体中消耗的总功率为dVPVEJPUIElJSEJVpV单位体积内的热功率为：均匀恒定电流场要消耗能量。该能量依靠外加电源补充。电源与电动势电源内部：电源需要克服库仑电场力，把正电荷从负极板输送到正极板，这个作用力称为局外力fe。通常把单位正电荷受的局外力称为局外场强Eeee0limqqfEaebdEl在电源外部导体中，电流与电场强度的关系为：JEEe和E实际方向相反abdUElPI电源的功率：第4章恒定电场•恒定电场的电流和电源•恒定电场的基本方程•恒定电场与静电场的比拟•电导与电阻第4章恒定电场•恒定电场的电流和电源•恒定电场的基本方程•恒定电场与静电场的比拟•电导与电阻Maxwell方程组SqSDd0dSSBd()dlStDHlJSlStSBlEddD0BtDJHtΒEEJ本构关系：D＝E，B＝mH，tDJH在Maxwell方程组中实际上包含了这一定律。看修正的安培环路定律两边取散度，左端旋度的散度恒为0，故得0tDJtJ电荷守恒定律电荷守恒是自然界中一条非常重要的守恒定律。dddSqStJ出去多少就少多少；守恒。dddddSvvSVVqttJJtJ恒定电场的基本方程令Maxwell方程组及电荷守恒定律中关于时间的偏导数等于0，得到关于E和J的基本方程。d0lEl0EEJd0SSJ0J•本构关系•特点：在导体内部，恒定电流场无散无旋。媒质交界面条件•媒质交界面条件实际上是基本方程在媒质交界面上的表现形式。静电场下：D0E21nnDDt1t2EE恒定电流场下：0J0E21nnJJt1t2EE21()0nJJ21()0nEE折射定律11111112222222//tantan//tntntntnJJEJJJEJEJ良导体与不良导体的交界面如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即1远大于2，则21211~0~0nnnEEJ2111/~0tttEEJ材料/S·m-1材料/S·m-1银铜金铝铁6.2×1075.8×1074.1×1073.5×1071.0×107海水蒸馏水湿土干土玻璃5~32×10－410－2~10－310－510－12良导体表面内侧，电流法向分量很小，电流近似平行于良导体表面流动。良导体表面外侧，电场切向分量很小，电场近似垂至于良导体表面。1~0nJ2111/~0tttEEJ恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等势体。但是对于良导体，内部电场很小，在较小的尺度范围内电位降落不大，其表面可以近似视为等位面。基本方程1122tntnEEEE例1一平行板电容器填充两种媒质，电导率和电容率分别为1、1和2、2，两板之间的电压为U。求媒质交界面上积聚的电荷密度。解：设媒质1、2中的电场为E1、E2，则1212222ddUEEUEEd交界面上121122nnJJEE求得21122UEd12122UEd交界面上面电荷密度为2112212211122()nnUDDEEd只有当，即时，媒质分解面上无集聚电荷。22112112例2设平行双输电线间距d=50cm，电压U=100V，电流I=300A，导体截面S=150mm2，求导线内部及表面场强。7108.5分析：内部110.035(Vm)tJEE1JE210.035(Vm)ttEE由边界条件由电轴法，沿AB)11(202rdrEn2E0rdaABnE21E两导体之间电压00lnABdUa有：211()1700(Vm)2lnnUEdaadaatnEE22结论：导体内部电流平行于导体流动；导线表面分布有不随时间变化的面电荷；(如何产生的？)导体表面外侧，电力线近似垂直于导体表面；恒定电场拉普拉斯方程在均匀导电媒质中，将电位函数的定义式代入散度方程Const00J20电位的媒质交界面条件2112ttEE1212nn12nnJJEEJ恒定电场中，电位函数的边值问题与静电场中的边值问题完全相似，揭示了相同的物理规律,因此可以使用相同的方法进行研究。这就是下节介绍的应用广泛的静电比拟。0J第4章恒定电场•恒定电场的电流和电源•恒定电场的基本方程•恒定电场与静电场的比拟•电导与电阻第4章恒定电场•恒定电场的电流和电源•恒定电场的基本方程•恒定电场与静电场的比拟•电导与电阻静电场（）恒定电流场对应量00E0EEEEE0J0DDJEJED0212nnJJ12nnDDttEE21ttEE210212121212nn1212nn基本方程电位函数衔接条件dsIJsdsqDsqIqCUIGUCG其它静电比拟的条件•两种场电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）；•相应电极的电压相同；•界面具有相似的几何形状，且满足条件1212//静电比拟：右图静电场与恒定电场有完全相似的结构和形式完全相同的解答。•静电场便于计算——通过静电比拟计算恒定电场•恒定电场便于实验——某些静电场问题可用恒定电流场模拟第4章恒定电场•恒定电场的电流和电源•恒定电场的基本方程•恒定电场与静电场的比拟•电导与电阻第4章恒定电场•恒定电场的电流和电源•恒定电场的基本方程•恒定电场与静电场的比拟•电导与电阻（1）电导与电阻－恒定电流场的电路参数URI/GIU（2）漏电导与绝缘电阻工程中，电极之间有时需填充不导电的材料作电绝缘。而实际上，这些材料，因此当电极间加直流电压时，总会有电流从正电极经绝缘材料流到负电极，这种电流称为漏电流0URIIGU电阻定义为两个电极之间的电压与电流之比。电导定义为电阻的倒数：漏电阻（绝缘电阻）:极间电压U与漏电流I之比为。漏电导定义为绝缘电阻的倒数（3）电导的计算•直接用电流场计算设dIIUGUJJEEl()dIUIGUEJEJS或设•静电比拟法当恒定电场与静电场边界条件相同时，用静电比拟法，由电容计算电导。ddddddSLSSLSCQUGIUDSElESJSElES例3求同轴电缆的绝缘电阻。设内外半径分别为R1、R2，长度为l,中间媒质的电导率为，介电常数为。求绝缘电阻。解法一直接计算电流场设22IJIIJErlrl电导212ln/IlGURR绝缘电阻2111ln2RRGlR2121ddln22RRRIIUrrllREl同轴电缆横截面解法二静电比拟法由静电场解得212,ln/lCRR则根据GC关系式得212,ln/lGRR同轴电缆电导211ln2RRlR绝缘电阻同轴电缆横截面例4一导电弧片由二块不同电导率的薄片构成，电导率已知，电极间电压U已知，求：（1）弧片内的电位分布；（2）总电流I和弧片电阻R；（3）分界面上电荷密度。解：列边值问题022(0)4012()421U20214412124412020在圆柱坐标系中22222211()z导电片很薄，可忽略z方向的变化：220z由边界条件知：220故：21()0解之得：12lncc1U20由边界条件：,确定c1,c2。E1=E2=J1=J2=I1=I2=I=I1+I2=R=U/I=（4）多个电极之间的部分电导（自学）与部分电容概念类似，当存在多个电极时，电极两两之间存在电导，称为部分电导。（自学）5.接地电阻（1）接地接地就是将电气设备的某一部分和大地相联接，其作用是：•保护人员的安全；•保护设备免受电磁干扰（电磁屏蔽与电磁兼容）；•大地作为传输导线（三相四线制380V系统变压器中性点接地）•分别称安全接地和工作接地。接地电阻包括：接地器电阻，接地器与土壤之间的接触电阻和土壤电阻（接地电阻以此电阻为主）深埋球形接地器（2）深埋球形接地器深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可与无限大区域的孤立圆球的电流场相似。)(24IIJr24rIJE2d44aIIUrra14Ra接地电阻某1kV大电流设备线路接地电阻要求R0.5W。若使用球形接地器，问半径应多大？设土壤电导率为10-2S/m。（3）考虑地面影响的球形接地器考虑地面的影响，可用镜像法处理。设深度h远大于球半径a，则在空气中放置一镜像电流源I，则空间任意一点，非深埋的球形接地器接地电阻002244iiIIrrrrJ22211dd()4442ahIIIUrrrrah002244iiIIrrrrE111()42Rah1h2h1I靠近悬崖边的接地器：22121211111()422(2)(2)Rahhhh1h2h2I3I1I4I1h2h1h2h1h2h接地电阻注意：电流的镜像源是同号的，这与电荷的镜像不同！接地电阻Why？思考：如果球的半径a与h相比不可忽略，存在简单的镜像电流源吗？为什么是2I？接地电阻aR21（4）地表半球形接地器考虑地面的影响用镜像法处理。设电流I，浅埋半球形接地器22242IIJJErr22raraIIra接地电阻例5：由半径为a的半球形接地器构成的系统如图，两接地器之间所加电压为U，大地的电导率为。若，求：（1）两电极间的电阻；（2）流经地中电流。0Da为保护人畜安全起见OUU（危险电压取40V)在电力系统的接地体附近要注意危险区。002IbxU