第三章变额年金(1)

1变额年金（VaryingAnnuities）2主要内容递增年金（离散支付，离散递增）递减年金（离散支付，离散递减）连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减）复递增年金：按几何级数递增的年金每年支付m次的递增年金连续年金：连续支付，连续递增（或递减）一般变额现金流3回顾：等额年金公式年金基本年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付1nnvai1nnvad(1)1nnisi(1)1nnisd1ai1ad4年金每年支付m次的年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付()()|1nmmnvai()()|1nmmnvad()()|(1)1nmmnisi()()|(1)1nmmnisd()()|1mmai()()|1mmad5连续支付的年金（连续年金）连续支付的永续年金的现值现值累积值|1nnva|(1)1nnis|1a63.1、递增年金含义：假设在第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支付n元，那么这项年金就是按算术级数递增的年金。如果用表示其现值，则有上式两边同时乘以(1+i)则有|)(nIannnvvvvIa32|32)(121|321))(1(nnnvvvIai7用第二式减去第一式则有所以递增年金的现值为231|()(1)nnniIavvvvnvinvaIannn||)(|nnanv8递增年金分解表时期0123…n–1n递增年金123…n–1n等额年金111…1111…111…11………111递增年金=n年定期年金+延期1年的(n–1)年定期年金+延期2年的(n–2)年定期年金+…+延期(n–1)年的1年定期年金9将上述各项年金的现值相加即得递增年金的现值为|11|1||)(avavaIannnn11111nnnvvvvviii211nnnvvvviinvann|11nnnnvviivvvi10根据现值求得其累积值为()(1)()(1)nnnnnnanvIsiIaii()(1)()nnnnanvIaiIad()=(1+)()nnnIsiIsnsndnsni期初付递增年金的现值期初付递增年金的累积值建议：只记忆期末付年金的现值公式，其他可以推出。||()nnnanvIai11当时，还可以得到递增永续年金的现值为在计算上述极限时，||()lim()nnIaIa|||()lim()limnnnnnanvIaIadnlimlim0(1)nnnnnnvi|limnnnanvi1di21d1111idii11(1)ii21(1)i12一般递增年金：例设A表示此年金的现值，则PP＋QP＋2Q……P＋(n-2)QP＋(n-1)Q0123……n-1n1()nnAPaQvIa13例：某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现价应该是多少？解：这项年金可以表示为一项等额年金（每年末付款900元）和100项递增年金的和，即1000110018001900900900900900100200900100010|10|900100()=6949.56+3937.38=1088.69()aIa元练习:一项递增年金，第一年末支付500元，第二年末支付550元，第三年末支付600元，以此类推，直到最后一次支付1000元，假设年实际利率为5%，试计算此年金在最后一次支付时刻的终值。1415例：证明下列关系式成立：（1）（2）1||(1)()nnnanvIai|||()nnnnanvIaai||()nnnanvIai已知：16（2）由于，因此||()nnnanvIai||(1)nnaia|nnnnavvnvi1|(1)nnanvi|(1)nnvaiin||nnnanvai1|1nnavv1||nnnaav（1）||()nnnanvIai||nnnviiaan17时期0123…n–1n递减年金nn–1n–2…21等额年金111…11111…1111…………111111含义：假设在第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元，那么这项年金就是按算术级数递减的年金。3.2、递减年金18因此递减年金的现值也可以表示为上述等额年金的现值之和，即：11()nnnDaaaa1111nnvvviii1()=nnnvvvi=nnai19递减年金的其他公式：||()=(1+)()nnDaiDa|=nnad||()=(1)()nnnDsiDs|(1)nnnisd||||(1)()(1)()(1)nnnnnnnnanisDsiDaiii||()nnnaDai例：投资者A拥有一份10年期递增期末付年金，第一年末支付100，以后每年递增50；投资者B拥有一份10年期递减期末付年金，第一年末支付X，以后每年递减X/10。年实际利率为5%，两项年金的现值相等。计算X。2021例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。试计算该项年金的现值是多少？12nn-11|1|()()nnnIavDa22|1|)()(nnnaDvaI|1|+(1)nnnnnaivnvai1|1|11()nnnnnnnvnivvvaa1|1|1(1)nnnnavavi1|1(1)(1)nnvai||nnaa233.6、连续支付的变额年金(continuouslypayablevaryingannuity)含义：支付次数趋于无穷，即支付是连续进行的，但支付金额随时间呈离散变化的年金。连续支付的递增年金连续支付的递减年金假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…，第n年连续支付n元，如下图所示：24年金的现值：连续支付递增年金的现值为：()nIa211111()23nnIaaavavnav211(123)navvnv1()naIannanv支付是连续进行的支付金额按一定时期间隔离散增长1nnanvvd25例：一个现金流在第1年连续支付30元，第2年连续支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支付120元，假设年实际利率为5%，求这项年金的现值。解：可以把这项年金分解为两项年金，如下图。26从图可以看出，本例年金的现值为：可以计算出105%105%2010()aIa10105%11.058.1078220.05/1.05a10105%11.057.913209ln(1.05)a10105%8.10782210(1.05)()40.350130ln(1.05)nnanvIa105%105%2010()207.9132091040.35013561.77aIa27连续支付的递增年金的终值：连续支付的递增永续年金的现值：第1年连续支付1元，第2年连续支付2元，第3年连续支付3元，并以此方式无限地延续下去。其现值为()(1)()(1)()nnnnnnnanvsnIsiIai1/1()limnnnanvdIad28连续支付的递增永续年金：现值的另一种计算（了解）2111()23Iaaavav21(123)avv1()aIa1d211vd29连续支付的递减年金：支付是连续进行的，但支付金额随时间离散递减。假如第1年连续支付n元，第2年连续支付n-1元，直到第n年连续支付1元。该年金的现金流如下图所示。30上述年金的现值：211111()(1)(2)nnDananavnavav211(1)(2)nannvnvv1()1nnaDanavdnna(1)()(1)()(1)nnnnnnnnanisDsiDai31例：一项年金在第1年连续支付100元，第2年连续支付90元，第3年连续支付80元，直到第10年连续支付10元，假设年实际利率为6％，求其现值。解：其现值的表达式为：因此本例年金的现值为：106%10()Da10106%11.067.3600870.06a106%107.360087()45.305688ln(1.06)Da1045.305688453.06323.3、复递增年金（compoundincreasingannuity）含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。期末付复递增年金：假设一项年金在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按的复利增长，直到第n年末支付。33上述年金的现值：变形可得：定义，则现值为：2231(1)(1)(1)nnvevevev22331(1)(1)(1)(1)1nneveveveve2311()11nnjuuuuaee(1)uev11uj其中111iejue注：若e=i,则现值为n/(1+e)34例：小王拥有一项10年期期末付的复递增年金，第一年末付1000元，此后的给付金额按5％的复利递增，假设年实际利率为11.3%，请计算这项年金在时刻零的现值。解：本例年金的现金流如下图所示：35现值：其中因此该项年金的现值为：10111000100011.05njjaae0.1130.050.06110.05ieje10106%1111.06100010007009.611.051.050.06a36期初付复递增年金：假设一项年金在第1年初给付1元，此后给付金额按复利增长，直到第n年初给付金额为元。1(1)ne37此项年金的现值表达式：令，可将上式化简为：22111(1)(1)(1)nnevevev(1)uev211nnjuuua1ieje其中注：若e=i,则现值为n38例：小李拥有一份20年期的期初付复递增年金，该年金在第1年初给付200元，以后给付金额按10％的复利递增，假设年实际利率为16.6%，请计算此项年金在时刻零的现值。解：本例年金的现金流如下图所示：39此项年金的现值为：其中因此，此项年金的现值为：20200ja0.1660.10.06110.1ieje20206%11.062002002431.620.06/1.06a