第七章 假设检验

0第七章假设检验假设检验（hypothesistest）是统计推断的另一基本问题，它包括参数假设检验和非参数假设检验。所谓参数假设检验是对总体分布函数中的未知参数提出某种假设，然后利用样本提供的信息对所提出的假设进行检验并作出判断。而非参数假设检验是对总体分布函数形式或类型的假设进行检验。7.1假设检验的基本概念先看几个例子。例1随机抽取了26块被播撒过“硝化银”的云，检测其产生的降雨量是否多于未播撒过“硝化银”的云。取每块云降雨量的对数作为观测指标X，假设2(,)X,其中2未知，未播撒“硝化银”的云通常有04，现在我们想根据已有数据1226,,,XXX来判定4是否成立？例2某厂有一批产品，须经检验合格才能出厂。按规定，次品率不得超过%2。今从中任取10件发现有1件次品，问这批产品能否出厂？设这批产品的次品率是p，问题化为如何根据抽样结果判断假设02.0:0pH是否成立。例3由实践经验知，某建筑材料的抗断强度指标服从正态分布，现改变了该材料的生产配方并进行新的生产流程，从新材料中随机抽取100件，测其抗断强度，试问新材料的抗断强度指标是否仍服从正态分布？设新材料的抗断强度指标为X,则问题可转换为如何根据样本推断假设,~:20NXH是否成立。类似的问题还很多，其共同特点是根据来自总体的样本去判断某个假设0H是否成立，这就是所谓假设检验的问题。例1、例2是关于总体参数的假设检验，属于参数假设检验，例3是关于总体分布函数形式的假设检验，属于非参数假设检验。一、假设检验的基本思想现在通过一个简单的例子来说明。1例4袋中有黑白两种颜色的球共100个，甲说这里有95个白球，乙从袋中任取一个，发现是黑球，问甲的说法是否正确？我们可以先做假设0H：袋中确有95个白球，如果0H正确，那么从袋中任取一个球是黑球的概率只有0.05，概率很小。人们通常认为，在一次试验中，概率大的事件发生，而概率小的事件不发生。但现在乙做了一个实验，抽到了黑球，即小概率事件发生了，这是不合理现象，因此有理由怀疑假设0H的正确性，也就是说可以拒绝假设0H，即认为甲的说法不正确。如果乙从袋中任取一球，发现是白球，这说明在一次试验中小概率事件未发生，即没有发生不合理现象，因此有理由怀疑假设0H的正确性，也就是说不能拒绝假设0H，应认为甲的说法正确。假设检验的基本思想是带有某种概率性质的反证法。为了检验一个假设0H是否成立，首先假定这个假设0H成立，然后看由此会产生什么后果。如果样本观察值导致了一个不合理的现象出现，表明假设0H不成立，应该拒绝假设0H；如果样本观察值未导致不合理的现象发生，则认为假设0H成立，应该接受0H。假设检验中所谓“不合理”，并不是逻辑中的绝对矛盾，而是基于人们在实践中广泛采用的一个原则——小概率事件在一次事件中几乎是不发生的。究竟概率小到什么程度才能当做“小概率事件”，显然，“小概率事件”的概率越小，否定假设0H就越有说服力。我们把这个概率值记作10，称为检验的显著性水平（significancelevel）。对于不同的实际问题，检验的显著性水平可以选取不同值，但一般应取为一个较小的数，通常取为一些标准值，如0.1,0.05或0.01。二、假设检验的两类错误当假设0H正确时，小概率事件也有可能发生，一旦小概率事件发生，我们会拒绝假设0H，因此犯了“弃真”的错误，称为第一类错误。犯第一类错误的概率恰好就是“小概率事件”发生的概率，即为真拒绝00|HHP（7.1.1）除此之外，还会有另一种情形，假设0H不真，但一次抽样检验结果，未发生不合理现象，这时我们会接受0H，因而犯了“取伪”的错误，称为第二类错误，2记为犯第二类错误的概率，即不真接受00|HHP（7.1.2）我们希望犯两类错误的概率都很小，但是，当样本容量n一定时，和不能同时都变小，即变小时，就变大；变小时，就变大。在实际问题中，一般总是控制犯第一类错误的概率，即给定检验的显著性水平，然后通过增大样本容量n来减小。检验的显著性水平如何给定呢？如果注重经济效益，可取小些，如1.0；如果既要考虑经济效益，又要考虑社会效益，一般取0.05。三、假设检验的一般步骤在假设检验问题中，把要检验的假设0H称为原假设（nullhypothesis），把原假设0H的对立面称为备择假设或对立假设(alternativehypothesis)，记为1H。在确定原假设和备择假设时往往把有把握的、不能够轻易被否定的命题作为原假设0H，而把无把握的、不能够轻易肯定的命题作为备择假设1H。由假设检验的两类错误可知：原假设成立时被否定的概率是很小的，这说明在假设检验问题中，原假设是受到保护的。假设检验一般可按如下步骤进行：（1）充分考虑和利用已知的背景知识，提出原假设0H和备择假设1H。（2）构造检验统计量Z，并在0H成立的前提下确定Z的概率分布。（3）确定拒绝域形式，根据假设检验问题以及给定的水平和Z的分布，由为真拒绝00|HHP确定出拒绝域。（4）根据抽样得到的样本观察值和所得到的拒绝域，对假设0H作出拒绝或接受的判断。37.2单个正态总体参数的检验设总体2,~NX，nXXX,,,21是来自总体X的样本，X和2S分别是样本均值和样本方差。一、总体均值的检验检验假设0100:,:HH其中0为已知数。下面对方差2已知和未知两种情形予以讨论。1.方差2已知——u检验法当0H为真时，1,0~0NnXU(7.2.1)所以选取nXU0作为检验统计量。由于X是的无偏估计量，当0H成立时，U不应太大，当1H成立时，U有偏大的趋势，所以以拒绝域形式为0xukn，（k待定）对于给定的显著性水平，查标准正态分布表得2Zk,使2ZUP即得拒绝域为20Znxu(7.2.2)由样本观察值nxxx,,,21计算出U的观察值u，如果2Zu,则拒绝原假设0H，即认为总体均值和0有显著差异；如果2Zu，则接受0H，即认为4总体均值和0无显著差异。例1某车间生产钢丝，用X表示钢丝的折断力，由经验判断2,~NX，其中228,570；今换了一批材料，从性能上看估计折断力的方差2不会有什么变化（即仍有228），但不知折断力的均值和原先有无差别。先抽得样本，测得其折断力为：578572570568572570570572596584取05.0，试检验折断力均值有无变化？解（1）建立假设570:,570:100HH（2）选统计量1,0~0NnXU(0H成立时)（3）对于给定的显著性水平，确定k，使kUP(0H成立时)查正态分布表得96.1025.02ZZk，从而拒绝域为96.1u（4）由于64,20.5751012101iixx，所以96.106.20nxu故应拒绝0H，即认为折断力的均值发生了变化。SAS程序如下：dataexample10;inputzheduanli@@;cards;578572570568572570570572596584;procmeansnmeanstderr;varzheduanli;run程序运行结果为：5由结果可知数据的平均值为575.2.DATAexample11;N1=10;MEAN1=575.2;SD1=8;U=(MEAN1-570)/SQRT(SD1**2/N1);P=(1-PROBNORM(ABS(U)))*2;PUTUP;RUN;运行结果如下：u=2.0554804791p=0.0398326192由运行结果可知检验的p值为0.0398326192，小于检验的水平0.05，所以应该要拒绝原假设。2.方差2未知——t检验法当0H为真时，1~0ntnSXT（7.2.3）所以选取nSXT0作为检验统计量。由于X是的无偏估计量，2S是2的无偏估计量，当0H成立时，T不应太大，当1H成立时，T有偏大的趋势，所以拒绝域形式为0xtksn，（k待定）对于给定的显著性水平，查标准正态分布表得12ntk,使12ntTP即拒绝域为6120ntnsxt（7.2.4）由样本观察值nxxx,,,21计算出T的观察值t，如果12ntt,则拒绝0H，否则接受0H。例2高强度轻质材料越来越普及，导致高尔夫球杆的设计与制造也发生了革命性变化，由于所谓“弹簧效应”使得中空且瘦长的球杆能使得击球更远。将球杆与球相撞后分离速度与相撞前的速度之比定义为“球杆复原系数”X，通常假定为2,~NX，过去球杆的平均复原系数为00.82。现随机的选择了某家球杆制造商所造的15根球杆，并测得其球杆复原系数分别为：0.84110.81910.81820.81250.87500.85800.85320.84830.82760.79830.80420.87300.82820.83590.8660给定显著性水平为05.0，现在我们感兴趣的是：能否断言这批新球杆的复原系数已经不同于老球杆?解（1）建立假设001:0.82,:0.82HH（2）选统计量1~0ntnSXT(0H成立时)（3）对于给定的显著性水平，确定k，使kTP(0H成立时)查t分布表得0.0252(1)(14)2.1448ktnt，从而拒绝域为2.1448t。(4)由于00.8372,s=0.02456,0.82,15xn，所以02.722.1448xtsn故应拒绝0H，即认为新球杆与老球杆的“复原系数”存在显著差异。本例SAS程序如下：dataexample2;inputfuyuan@@;cards;0.84110.81910.81820.81250.87500.85800.85320.84830.82760.798370.80420.87300.82820.83590.8660;procttesth0=0.82alpha=0.05data=example2;varfuyuan;run;运行结果如下：由上述运行结果可知，检验的p值为0.0166，小于检验水平0.05,故应该拒绝原假设。二、总体方差2的检验——2检验法检验假设20212020:,:HH其中20为已知数。当0H成立时，1~11221202022nXXSnnii（7.2.5）所以选取20221Sn作为检验统计量。由于2S是2的无偏估计量，当0H成立时，2S应在20附近，当1H成立时，2有偏小或偏大的趋势，所以拒绝域形式为120221ksn或220221ksn（21,kk待定）查2分布表得81,12222211nknk使112222212nnP或即得拒绝域为112212022nsn或11222022nsn（7.2.6）由样本观察值nxxx,,,21计算出2的观察值，如果12212n或1222n，则拒绝域0H，即认为总方差2与20有显著差异；如果11222221nn则接受0H，即认为总体方差2与20无显著差异。例3一种自动填装机器用来给空瓶装入液态洗涤剂，为了保证填装效果，要求每瓶装入量的方差为0.01盎司，现从中随机的抽取了20瓶洗涤剂，并测得其样本方差为0.01。问这批洗涤剂装入量是否达标？(显著性水平05.0，假定每瓶装入的洗涤剂服从正态分布)解设每瓶装入的洗涤剂为X,假定2,~NX,其方差为0.01。该题需要检验总体的方差。（1）建立假设2