自动控制

例试简化系统结构图，并求系统传递函数3、信号流图的组成及性质(1)、信号流图的组成：由节点和支路组成的一种信号传递网络。A、节点：即变量，用小圆圈表示，为流向该节点的信号的代数和。B、支路：定向线段，标支路增益，相当于乘法器，表因果关系。(2)、信号流图的性质A、节点标志系统的变量；B、支路相当于乘法器；C、信号沿箭头单向传递；D、系统的信号流图不是惟一的。下图为典型的信号流图(3)、常用术语源节点（或输入节点）：只有输出支路而没有输入支路的节点，如图中的节点X1。阱节点（或输出节点）：只有输出支路而没有输入支路的节点，如图中的节点X5。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点，如图中的节点X2X3X4X5。前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。从源节点X1到阱节点X5，共有两条前向通路：一条是X1－＞X2－＞X3－＞X4－＞X5，其前向通路总增益P1＝abc；另一条是X1－＞X2－＞X5，其前向通路总增益P2=d。回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。X2－＞X3－＞X2，其回路增益L1=ae，X3－＞X4－＞X3其回路增益L2=bf；X5－＞X5的自回路，其回路增益是g。不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。一对X5－＞X5是和X2－＞X3－＞X2；另一对是X5－＞X5和X3－＞X4－＞X3。4、信号流图的绘制(1)由系统微分方程绘制信号流图微分方程先拉氏变换，指定系统变量，按因果关系排列，连成信号流图。下面结合示例说明：例试绘制RC无源网络的信号流图。设电容初始电压为U1(0)。解由基尔霍夫定律，列写微分方程式如下：各微分方程式进行拉氏变换，则有对变量Ui(s)，Ui(s)-U0(s)，I1(s)，I2(s)，I(s)，U0(s)及U1(0)分别设置七个节点；然后，用相应增益的支路将个节点连接起来，便得到RC无源网络的信号流图。(2)由系统结构图绘制信号流图结构图上信号线变成小圆圈表示变量，方框变成增益线段（即支路），连成信号流图。下面结合示例说明：例试绘制系统结构图对应的信号流程。解:首先，在系统结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对于对应的节点，如图（a）所示。其次，将各节点按原来顺序自左向右排列，连接个节点的支路与结构图中的方框相对应，便得系统的信号流图，如图（b）所示.注意比较点与引出点的关系：在结构图比较点之前没有引出点（但在比较点之后可以有引出点）时，只需在比较点后设置一个节点便可，见图（a）；但若在比较点之前有引出点时，就需在引出点和比较点各设置一个节点，分别标志两个变量，它们之间的支路增益是1，见图（b）。注意比较点与引出点的关系：5、梅森增益公式(1)梅森增益公式的来源A、克莱姆规则求解线性方程组B、传递函数分子分母多项式分析（2）梅森增益公式p为从源接点到阱接点的传递函数（或总增益）；n为从源接点到阱接点的前向通路总数；pk为从源接点到阱接点的第条前项通路总增益；△为流图特征式；△k为流图余因子式；∑La为所有单回路增益之和；∑LbLc为每两个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；∑LdLeLf为每两个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；△k等于流图特征式中除去与第k条前项通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。（3）利用梅森公式求系统传递函数下面结合实例利用梅森公式求系统传递函数：例试用梅森公式求例2-14系统的传递函数C(s)/R(s).解:由梅森公式求得系统传递函数为例求图所示系统的传递函数C(s)/R(s)解:有五个单独回路;没有不接触回路;有两条前项通路流图特征式△=1-∑La+∑LbLc=1+d+eg+bcg+deg从源节点X1到阱节点X2的前向通路有两条p1=aef,△1=1+dP2=abcf,△2=1从源节点X1到阱节点X4的前向通路有一条例试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s)解单独回路有四个，即∑La=-G1-G2-G3-G1G2两个互不接触的回路有四组，即∑LbLc=-G1G2-G1G3-G2G3-G1G2G3三个互不接触的回路有一组，即∑LdLeLf=-G1G2G3例试求图所示系统信号流图的传递函数C(s)/R(s)解:三个单独回路，没有不接触回路，三条前向通路，由梅森公式求得系统传递函数为由上式不难求出与其对应的微分方程为这正是三阶线性微分方程式的典型形式6、闭环系统的传递函数（1）输入信号作用下的闭环传递函数N(s)=0（2）扰动作用下的闭环传递函数R(s)=0输入和扰动共同作用式，系统输出响应为（3）闭环系统的误差传递函数以E(s)为输出量时的传递函数、误差传递函数为：最后要指出的是，各种闭环系统传递函数的分母形式相同，是因为它们都是同一个信号流图的特征式，即△=1+G1(s)G2(s)H(s),式中G1(s)G2(s)H(s)是回路增益，并称它为系统的开环传递函数，它等效为主反馈段开时，从输入信号R(s)到反馈信号B(s)之间的传递函数。例:试求图所示控制系统的传递函数C(s)/R(s)解：解法1用结构图等效变换法求解，等效变换过程如后图所示解法2用梅逊公式求解。系统结构图所对应的信号流图如图所示。系统有一条向前通道，其传递函数为P1=G1G2G3G4四个回路：L1=-G3G4H4,L2=-G2G3H1,L3=-G1G2G3H2,L4=1G1G2G3G4H3这四个回路都互相接触△=1-(L1+L2+L3+L4),△1=1所以，系统传递函数为例：系统结构图、信号流图如图所示，求传递函数C(s)/R(s)。解系统所对应的信号流图如图所示。三个回路：L1＝G1G2，L2＝-G4，L2＝-G4，L3＝G1G4G5H1H2△=1－（L1+L2+L3）+L1L2=1-G1G2+G4-G1G4G5H1H2-G1G2G4从R1(s)到C1(s)，有一条前向通路：P1=G1G2G3△1=1+G4从R2(s)到C2(s)，有一条前向通路：P1=G4G5G6△1=1-G1G2由梅逊公式，得讨论：同一系统的△是一定的，不随输入点的位置而改变。例以知某系统的信号流图如图所示，试求传递数Y6(s)/Y3(s)解系统共有三个回路且相互关联，即L1=cf,L2=-bcdeh,L3=-adeh△=1-(L1+L2+L3)=1+cf+bcdeh+adeh先求Y3(s)/U1(s)两条向前通路分别为P1=a,△1=1;P2=bc,△2=1;例设系统信号流图如图所示，求传递函数C(s)/R(s)解:九个回路L1=-G2H1,L2=-G4H2,L3=-G6H3L4=-G3G4G5H4,L5=-G1G2G3G4G5G6H5L6=H1H4G8,L7=-G3G4G5G6G7H5L6=-G1G6G8H5,L9=G6G7G8H1H5所以讨论：要正确应用梅逊公式，必须准确无误地找出信号流图中的所有前向通路和回路。例系统结构图如图所示，求出系统的闭环传递函数C(s)/R(s).解解法1采用结构化简法求解。方框图化简步骤如图所示。解法2采用梅逊公式求解。信号流图如图所示。四个回路：L1=G3G8,L2=-G1G2G3G7,L3=-G5G6G7L4=-G2G4G5G7△=1-(L1+L2+L3+L4)=1+G1G2G3G7+G2G4G5G7+G5G6G7-G3G8一条前向通路P1=G1G2G3G7,△1=1例已知系统结构图如图（a）所示试求传递函数C(s)/R(s)及E(s)/R(s).例某系统结构如图所示，R(s)为输入，P(s)为扰动，C(s)为输出。试求：（1）画出系统的信号流图（2）用梅逊公式求其传递函数C(s)/R(s)；（3）说明在什么条件下，输出C(s)不受扰动P(s)的影响。解（1）将图各端口信号标注出来（图（a）），然后依之画出相应的信号流图（图（b））（2）该系统有4条回路，2条前向通道。（3）扰动P(s)到输出C(s)有2条前向通道例某复合控制系统的结构图如图2.6所示，试求系统的传递函数C(s)/R(s)。解法1用结构图等效变换方法求解。先解除交叉结构（图(a)），然后用引出点、比较点移动方法进行化简。例系统结构图如图所示，求C(s)/R(s)。例系统结构图如图所示，求C(s)/R(s)。解法2用梅逊公式求解。本题结构图有两条前向通路，6个回路，其中一组两两互不接触回路。P1=G1G2△1=1P2=-G3△2=1-(-H)=1+H△=1-{-H-G2-G1-G1G2-(-G3)-[-(-G3)]}+[-(-G3)](-H)=1+H+G2+G1+G1G2-G1H例设线性系统结构图如图所示，试：（1）画出系统的信号流程图；（2）求传递函数C(s)/R1(s)及C(s)/R2(s)解（1）在结构图上把需要引出的信号做出标记（如图（a）中的“（）”所示），对应画出信号流图如图（b）所示。（2）利用梅逊公式：当R1(s)单独作用时，系统有3条前向通路，3个回路，其中一组两两互不接触