第六章参数假设检验案例

1第六章参数假设检验例1、某企业生产一种零件，过去的大量资料表明，零件的平均长度服从均值为4厘米，标准差为0.1厘米的正态分布。改革工艺后，抽查了100个零件，测得样本平均长度为3.95厘米。问：工艺改革前后零件的长度是否发生了显著的变化？(4)nx)1,0(Nx～2若设为真，给定置信度时，应有(4)(14)0120znxnzx20即3反之，若即则说明工艺改革前后零件的长度发生了显著的变化。20znxnzx204示意图(1)(2)0x15本例中，则有。，，，1001.095.3nx，，若给定假定01.0458.22z于是有：58.251001.0495.30nx所以，根据样本信息，应推断工艺改革前后零件的长度发生了显著的变化。6假设检验具有两个主要特点：2、这里的合理与否，所依据的是“小概率事件实际不可能发生”的原理。1、假设检验所采用的逻辑推理方法是反证法。7第一节假设检验的基本概念一、假设检验的基本问题（一）原假设与备择假设的提法0H1H原假设（零假设）备择假设80100：；：HH0100：；：HH0100：；：或HH0100：；：HH0100：；：或HH假设的三种形式：1、2、3、9检验结果总体情况决策正确第二型错误（采伪）第一型错误（拒真）正确为真不真0H0H（概率为）（概率为）拒绝接受0H0H（二）假设检验的原理（三）拒绝域和接受域(10)（四）假设检验的两类错误(13)10x1示意图(9)11x示意图12x示意图1301示意图(9)144、选择显著水平（给定的），确定临界值；二、假设检验的步骤(2)1、提出原假设与备择假设；2、选择适当的统计量并确定其分布形式；3、计算检验统计量的具体数值；5、作出结论。15设，总体方差已知，为总体的一个样本，样本平均数为。可用检验法。X2,N2nxxx,,,21nxz010，Nxz第二节总体均值的假设检验一、单个总体均值的假设检验（一）总体方差已知时对正态总体均值的假设检验～～16例2、根据过去大量资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正态分布。现从最近生产的一批产品中随机抽取16件，测得样本平均寿命为1080小时。试在0.05的显著水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高？(32)21001020，N1020102010：，：HH4.216100102010800nxz统计检验量645.105.005.0zz，查表得临界值由解：17由于，所以应拒绝而接受，即这批产品的使用寿命确有显著提高。645.14.2zz0H1H18设，总体方差未知。可用t检验法。X2,N2nSxt01nt（二）总体方差未知时对正态总体均值的假设检验（n30）～～19例3、某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产品的重量服从正态分布，每包标准重量为1000千克。某日随机抽查9包，测得样本平均重量为986克，标准差为24克。试问在0.05的显著水平上，能否认为这天自动包装机工作正常？(30)1000100010：，：HH75.192410009860nSxt统计检验量306.21905.0025.0t，查表得临界值由解：20由于，所以接受，即可认为这天自动包装机工作正常。306.2175.12ntt0H21建立假设，∵∴选择T统计量代入数据，计算得：（千克）：（千克）；：106201062010HH05.0811063110千克，千克，，SxnnSxT429.061.25111081062010631T例4、某厂生产的一种金属线，其抗拉强度的均值为10620千克，据说经过工艺改革后其抗拉强度有所提高。为检验，从新生产的产品中，随机抽取了10根，测得平均抗拉强度为10631千克，标准差为81千克，设抗拉强度服从正态分布，问：在=0.05的显著水平下，可否认为抗拉强度比过去提高了？解：22查表得：∵∴接受原假设，即有95%的把握认为抗拉强度没有提高。833.1)9(05.0t833.1)9(429.005.0tT23例5、某食品厂用自动装袋机包装食品，每袋标准重量为50克，每隔一定时间随机抽取包装袋进行检验。现随机抽取10袋样本，测得其平均重量为50.20克，样本标准差为0.62克。若每袋重量服从正态分布，试以10%的显著水平检验每袋重量是否符合要求。（已知）833.1905.0t解：建立假设，500：H501：H因为总体方差未知且为小样本，故采用统计量：∵nSxT1062.02.50nSx，，t∴02.11062.0502.50T24故在10%的显著水平下，接受原假设，即每袋重量符合要求。905.0tT由于，自由度为10-1=9时，。1.0833.1905.0t∴25例6、某房地产母公司给其一家子公司下达的指标任务是每一套住宅的平均销售时间为40天或更少。抽取子公司20套住宅，发现其平均销售时间是45天，而样本标准差是10天。问以5%的显著性水平来检定，该子公司是否完成了母公司的指标任务。解：建立假设：H0:≤40H1:40假设每一套住宅的销售时间服从正态分布未知，已知S=10,选择统计量又，n=20,进一步有：nSXT45X224.220104045nSXT026由于，所以以5%的显著性水平拒绝H0,接受H1。729.1)19(t24.2T表明以5%的显著性水平，该子公司没有完成了母公司的指标任务。当=0.05时，查t分布表得：t0.05（19）=1.729。27对大样本（n≥30），可用z检验。若总体方差未知，可用样本方差代替,即nSxz010，N～（三）非正态总体或总体分布未知时，总体均值的假设检验2848000048000010：，：HH581.1401200004800004500000nSxz统计检验量645.105.005.0zz，查表得临界值由例7、某房地产经纪人宣称某邻近地区房屋的平均价值低于480000元。从40间房屋组成的一个随机样本得出的平均价值为450000元，标准差为120000元。试问在0.05的显著水平下，这些数据是否支持这位经纪人的说法？解：29由于，所以不能否定，即这些数据不能支持这位经纪人的说法。645.1581.1zz0H30则此时应拒绝原假设。可见，选取的显著水平不同，则有可能出现这种完全相反的结论。397.11910.0t397.1175.12ntt（四）P值假设检验的结论是在给定的显著水平下作出的。因此，在不同的显著水平下，对同一检验问题所下的结论可能完全相反。例如，对例3，当显著水平为0.05时应接受原假设；但在显著水平为0.20时，有：(19)即3112.40082.04.2zP示意图：320082.04.2zP现在，换一个角度来进行假设检验。(16)在例2中，求统计量z大于2.4的概率：我们把“拒绝原假设的最小显著水平”称为假设检验的P值。33对双侧检验若Z的分布是对称的zZPPzZPP22或zZPPzZPPzZPP右单侧检验左侧检验34假设检验的重点在于确定统计量的分布,单个总体均值的假设检验的统计量的分布可根据下列情况分别决定：总体分布的类型已知未知总体方差已知总体方差未知大样本小样本35Xxxxn121，，，Yyyyn221，，，21210：检验H211：H二、两个正态总体差异的假设检验？36yx22212121nnN，22212121nnyxz10，N（一）当两个总体为正态分布，且已知总体方差和时，总体均值差异的假设检验2122～所以可选择z统计量进行检验：～37例8、有两种方法可用于制造两种以抗拉强度为重要特征的产品，经验表明，用这两种方法生产出来的产品的抗拉强度都近似服从正态分布。方法1给出的标准差为6千克，方法2给出的标准差为8千克。现从方法1生产的产品中抽取样本容量为12的一个样本，得到样本均值为40千克。从方法2生产的产品中抽取样本容量为16的一个样本，得到样本均值为34千克。管理部门想知道这两种方法所生产出来的产品的平均抗拉强度是否相同？（设）05.03800211210：，：HH222121210nnxxz10，N27.21664123603440z解：建立检验统计量～代入数据进行计算，得；39故拒绝原假设，即在这些样本数据基础上，我们得到两个总体均值不相同的结论。，由于96.127.2z由题设查表可得：96.1025.02zz40当两个总体方差虽然未知但相等时，对两个正态分布总体平均值之差的检验可用t统计量进行检验：22122121nSnSxxtpp221nnt211212222112nnSnSnSp其中（二）两个正态总体，其方差未知但相等的总体均值差异的假设检验～41例9、某地区高考负责人想知道能不能说某年来自城市中学考生的平均成绩比来自农村中学考生的平均成绩高。已知总体服从正态分布且方差大致相同，由抽样获得如下资料：5054517111Sxn，，农村考生：5549515222Sxn，，城市考生：00211210：，：HH2212210nSnSxxtpp05.0建立检验统计量解：42故拒绝原假设，即某地区高考负责人不能说某年来自城市中学考生的平均成绩比来自农村中学考生的平均成绩高。2745215175511550117222pS69.21527451727450495545t70.13005.0t，由于tt70.169.2代入数据进行计算：由题设查表可得：43（三）两个正态总体方差未知且不等时的总体均值差异的假设检验两个正态总体方差未知且不等时的总体均值之差的假设检验，可用t统计量进行检验：2221212121nSnSxxtfdt22222121212222121nnSnnSnSnSfd其中——修正自由度～44例10、某纺织厂可以从两个地区购买原纱。这两个地区的原纱从各方面来看都不相上下，但抗断强度除外。如果有理由认为A地区的产品（价格较低）其抗断强度不低于B地区的产品的话，该厂将购买A地区的产品。现从A、B两地区的库存品中各抽出一个随机样本，得到下列结果：假定抗断强度近似服从正态分布。假定两个总体方差不等，根据水平下的适当假设检验，你是否建议该纺织厂厂长购买价格便宜的原纱（即A地区的原纱）？9981214941022BBBAAASxnSxn，，；，，05.0450010BABAHH：，：BBAABABAnSnSxxt2273.2129101409894t解：由于两个总体方差不等，所以构造统计量：代入数据进行计算：46故拒绝原假设，即不能建议该纺织厂厂长购买价格便宜的A地区的原纱。1903.19121291010141291014222fd73.11905.0t，由于1973.173.2tt计算修正自由度：由题设查表可得：472221212121nSnSxxz10，N～（四