2014届高三数学一轮复习巩固与练习函数的基本性质

巩固1．(2010年皖南八校联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝()A．3B．－3C．2D．7解析：选C.由题意得f(3)＋f(0)＝－f(－3)＋f(0)＝2＋0＝2.故选C.2．(2009年高考福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)解析：选A.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，在A中，由f′(x)＝－1x2＜0得f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数．在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数．在D中，由f′(x)＝1x＋1且x＋1＞0知f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|1x|)＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.∵f(x)在R上为减函数且f(|1x|)＜f(1)，∴|1x|＞1，即|x|＜1且x≠0，得－1＜x＜0或0＜x＜1.4．(原创题)已知f(x)＝x2＋x，则f(a＋1a)________f(1)．(填“≤”“≥”)．解析：∵a＋1a≥2或a＋1a≤－2，f(x)的对称轴为x＝－12.∴f(x)在(－12，＋∞)上为增函数，在(－∞，－12)上为减函数．又f(2)＝22＋2＝62＝f(1)，f(－2)＝(－2)2＋(－2)＝2＝f(1)，∴f(a＋1a)≥f(1)．答案：≥5．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________________.解析：由于f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，可知b≠0，∴f(x)为二次函数，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(x)为偶函数，∴其对称轴为x＝0，∴－2a＋ab2b＝0，∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.若a＝0，则f(x)＝bx2与值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，若b＝－2，又其最大值为4，∴4b×2a24b＝4，∴2a2＝4，∴f(x)＝－2x2＋4.答案：－2x2＋46.已知函数f(x)＝1a－1x(a＞0，x＞0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a的值．解：(1)证明：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0.∵f(x2)－f(x1)＝(1a－1x2)－(1a－1x1)＝1x1－1x2＝x2－x1x1x2＞0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，又f(x)在[12，2]上单调递增，∴f(12)＝12，f(2)＝2，代入可得a＝25.练习1．对于定义在R上的任何奇函数，均有()A．f(x)·f(－x)≤0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)＞0D．f(x)－f(－x)＞0解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.2．(2010年重庆联合诊断)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数f(|x|)的图象是()[来源:Zxxk.Com]解析：选B.∵y＝f(|x|)是偶函数，∴y＝f(|x|)的图象是由y＝f(x)把x0的图象保留，x0部分的图象关于y轴对称而得到的．3．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)()A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数解析：选B.由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，作出函数的特征性质图如下．A．－1B．1C．6D．12[来源:Z_xx_k.Com]解析：选C.由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，又∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.5．(2009年高考福建卷)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1C．y＝2x＋1，x≥0x3＋1，x＜0D．y＝ex，x≥0e－x，x＜0解析：选C.利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝2x＋1，x≥0，x3＋1，x＜0在(－2,0)上为增函数．y＝ex，x≥0，e－x，x＜0在(－2,0)上为减函数，故选C.6．(2009年高考陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则当n∈N*时，有()A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)解析：选C.对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·(f(x2)－f(x1))＞0，因此x2－x1和f(x2)－f(x1)同号，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于n∈N*，且n＋1＞n＞n－1，所以－n－1＜－n＜－n＋1≤0，即f(n＋1)＝f(－n－1)＜f(－n)＜f(－n＋1)＝f(n－1)．7．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，[来源:Z+xx+k.Com]f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)[来源:学科网ZXXK]即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.答案：－－x－18．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．解析：y＝－(x－3)|x|＝－x2＋3x，x＞0，x2－3x，x≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32]．答案：[0，32]9．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x的取值范围为________．解析：易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)＜0⇒f(mx－2)＜－f(x)＝f(－x)，此时应有mx－2＜－x⇒xm＋x－2＜0，对所有m∈[－2,2]恒成立，令f(m)＝xm＋x－2，此时只需f(－2)＜0f(2)＜0即可，解之得－2＜x＜23.答案：(－2，23)10．求证：f(x)＝1＋xx在(0,1]上是减函数．[来源:学。科。网]证明：设x1，x2∈(0,1]，且x1x2.则f(x1)－f(x2)＝1＋x1x1－1＋x2x2＝x2＋x1x2－x1－x2x1x1·x2＝x2－x1＋x1x2(x1－x2)x1·x2＝(x2－x1)(1－x1x2)x1x2.∵x1，x2∈(0,1]，且x1x2，∴x2－x10,1－x1x20，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以f(x)＝1＋xx在(0,1]上是减函数．11．已知函数f(x)在定义域[－2,2]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)0的实数m的取值范围．解：∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有－2≤1－m≤2，－2≤1－m2≤2，解得－1≤m≤3，①又f(x)为奇函数，在[－2,2]上递减，∴f(1－m)－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－mm2－1，即－2m1.②综合①②可知，－1≤m1.12．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x＞00，x＝0x2＋mx，x＜0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．