3.2复数代数形式的四则运算上课课件

我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：abbaabba()()abcabc()()abcabc()abcabac那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？复数的四则运算(一)注意到i21，虚数单位i可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！注:⑴复数的减法是加法的逆运算；⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.1.复数加、减法的运算法则：已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.(a+bi)±(c+di)=(a±c)±(b±d)i如图,z1对应向量OZ1,z2对应向量OZ2,根据向量加法可知OZOZOZ12我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则,复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？设z1=a+biz2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)ixOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)∵OZab1(,),OZcd2(,),根据向量加法的坐标运算可知OZOZOZabcd12(,)(,)=acbd(,)吻合!这就是复数加法的几何意义.xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.2.复数减法运算的几何意义?|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.点A到点(1,2)的距离点A到点(－1,－2)的距离(3)|z－1|点A到点(1,0)的距离(4)|z+2i|点A到点(0,－2)的距离练习:已知复数m=2－3i,若复数z满足不等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?以点(2,－3)为圆心,1为半径的圆上复数减法的几何意义的运用设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件下求动点Z(x,y)的轨迹.1.|z-2|=12.|z-i|+|z+i|=43.|z-2|=|z+4|xyoZ2ZZZ当|z-z1|=r时,复数z对应的点的轨迹是以Z1对应的点为圆心,半径为r的圆.1-1ZZZyxo|z－z1|+|z－z2|=2a|z1－z2|2a|z2－z1|=2a|z2－z1|2a椭圆线段无轨迹yxo2-4x=-1当|z-z1|=|z-z2|时,复数z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的中垂线.-11、|z1|=|z2|平行四边形OABC是2、|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是3、|z1|=|z2|，|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是z1z2z1+z2oz2-z1ABC菱形矩形正方形三、复数加减法的几何意义三、复数加减法的几何意义的运用练习1:,2设z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1|z2+z1|=求|z2-z1|22.复数的乘法法则：2acadibcibdi)()acbdbcadi（(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；i2(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何z1,z2,z3∈C,有,()(),().zzzzzzzzzzzzzzzzz12211231231231213()()abicdi解:原式=()abi22=ab22解:原式=()()iiii2643213=()()ii813=iii28243=i525例2.计算(－2－i)(3－2i)(－1+3i)复数的乘法与多项式的乘法是类似的.我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开,运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.注意a+bi与a-bi两复数的特点.思考：设z=a+bi(a,b∈R),那么定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z=a+bi的共轭复数记作?zz,zzabi即?zzzzzzzzzz12121212,另外不难证明:一步到位!例3.计算(a+bi)(a-bi)【探究】怎样判断一个复数是实数？①z的虚部为0②z=z【例1】已知复数z=1+i,求实数a,b使2)2(2zazbzaa=－2,b=－1;a=－4,b=2;ziziz求满足复数34)21(.2z=2+idicbiadicbia)()())(())((dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.【探究】i的指数变化规律1,,1,4321iiiiii__,__,__,__8765iiii你能发现规律吗？有怎样的规律？ni414ni24ni34ni,1,i,1i【例2】求值：200632iiii10...212006200520042003200220018765432iiiiiiiiiiiiiiiii）（）（）（解：原式的值。求已知1,2150100zziz例3:iiizzziziiz111)()1()1(1)()(1)(,2)1(122521242542422原式解：【练习】1、在复数范围内解方程(1)x2+4=0(2)z2=2i2、在复数范围内分解因式(1)x2+4(2)x4-y43、已知复数z的平方根为3+4i,求复数z.4、求复数z=3+4i的平方根.2(tan)(2)0(),xxixiR设关于的方程若方程有实数根，求锐角的值并求出方程的所有根。拓展oxxxxixxx451tan,101,02tan0)1()2tan(22解：练习1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-2002-2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1,x2,求x14+x24的值.解:,12,1ix.8)2()2()1()1(22444241iiiixx注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.3.已知复数是的共轭复数，求x的值．)R()23(222xixxxxi204解：因为的共轭复数是，根据复数相等的定义，可得i204i204.2023,4222xxxx6323xxxx或或解得所以．3x课外练习:i347.在复数集C内，你能将分解因式吗？xy221.计算:(1+2i)22.计算(i-2)(1-2i)(3+4i)-20+15i作业:自由安排3.计算i3(1)4.若zC且zi(3)1,则z_____.5.已知mR且miR3(),则m_____.6.已知zi1322,求zzz322339的值.-2+2i-3-i338(x+yi)(x-yi)例1设，求证：（1）；（2）i2321012.13证明：（1）22)2321()2321(11ii;04323412321ii22)23(23212)21(2321iii（2）33)2321(i)2321()2321(2ii)2321)(2321(ii22)23()21(i14341。两个虚数的差还是虚数虚数两个纯虚数的差还是纯。的共轭复数是纯虚数互为共轭复数、是实数，则如果、下列命题中正确的是例)4()3(ZZ)2(ZZZZ)1(32121(2)互为共轭复数。与则若互为共轭复数。与则若互为共轭复数。与则若互为共轭复数。与则若为：、下列命题中的真命题例2121212121212121ZZ,0ZZ)D(ZZ,0ZZ)C(ZZ,0ZZ)B(ZZ,0ZZ)A(4D