28.1锐角三角函数(余弦、正切)

——余弦正切复习与探究：1.锐角正弦的定义在中，RtABCC90∠A的正弦：caABBC斜边A的对边sinA2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比，∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。ABCabc思考探究ABCA'B'C'在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’，那么与有什么关系．你能解释一下吗？ABAC''''BACA∵∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’∴Rt△ABC∽Rt△A’B’C’,''''BAABCAAC.''C'A'ABBAAC即如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cbAA斜边的邻边cosABC斜边c对边a邻边b★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即baAAA的邻边的对边tan注意cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；cosA不表示“cos”乘以“A”，tanA不表示“tan”乘以“A”对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。同样地，cosA，tanA也是A的函数。cbAA斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tancaAA斜边的对边sin锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.ABC斜边c对边a邻边b例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，AB=10，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．,86102222BCABACABCRt中，解：在ABC610延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？正切呢?结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。一个锐角的正切和它余角的正切互为倒数..3468tan53106cos54108sinBCACBABBCBABACB，，.4386tan54108cos53106sinACBCAABACAABBCA，，1)90tan(tan)90sin(cos)90cos(sin000AAAAAA结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。一个锐角的正切和它余角的正切互为倒数.ABC6.34tan54cos,8610.10356sinsin2222BCACBABACABCABACABCABABBCA，又，解：例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求cosA和tanB的值．53sinA1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为()A.2B．C．D．55552121、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定ABCC2、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.ABCD  CD1tanAAC()()CD2tanBBC()BCACBDAD练习1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.ABCD454334A.B.C.D.3455BBAEDC30°533353A.()mB.(53)mC.mD.4m3223A2.（2010·黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝则tanB＝（）3.（2010·丹东中考）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）5454.B43.C55.DB53.A4．（2010·怀化中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=则cosB的值等于（）5.（2010·东阳中考）如图，为了测量河两岸A.B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，那么AB等于（）A.a·sinαB.a·tanαC.a·cosαD.tanaACABABCaα【解析】选B.在Rt△ABC中，tanα=所以AB=a·tanα【规律方法】1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)；2.sinA,cosA是一个完整的符号,表示∠A的正弦、余弦,习惯省去“∠”符号；3.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.在Rt△ABC中AasinAAc的对边的斜边AbcosAAc的的邻边的的斜边AatanAAb的的对边的的邻边28.1锐角三角函数（3）rldmm8989889ABC∠A的对边a∠A的邻边b斜边ccaABBC斜边A的对边sinAcbABAC斜边A的邻边cosAbaACBC边边A的tanA邻对rldmm8989889请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺，思考并回答下列问题：1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长度。30°60°45°12311245°新知探索:30°角的三角函数值123sin30°=21斜边A的对边cos30°=23斜边A的邻边tan30°=33A的邻边A的对边30.0CBArldmm898988945.0CAB112cos45°=tan45°=sin45°=22斜边A的对边22斜边A的邻边1A的邻边A的对边新知探索:45°角的三角函数值60.0BAC123sin60°=23斜边A的对边cos60°=21斜边A的邻边tan60°=3A的邻边A的对边新知探索:60°角的三角函数值rldmm898988930°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1222322212332331rldmm8989889例1求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）45tan45sin45cos).60(sin)60(sin60sin60sin22即，）表示（22)23()21(解：原式112222解：原式0rldmm8989889；）（30cos30sin211；）（60sin245tan30tan32；）（30tan160sin160cos3求下列各式的值：.21160cos2145sin2402005）（）（）（rldmm8989889例2（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A的度数．3,6BCABABC36,2263sinABBCA解.45Arldmm8989889（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．ABO3,33tanOBOBOBAO解.60当A，B为锐角时，若A≠B，则sinA≠sinB,cosA≠cosB,tanA≠tanB.rldmm89898891、在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A、∠B的度数．21,7ACBCBAC721rldmm89898892、求适合下列各式的锐角α3(1)3tan01sin2(2)1212cos(3)的值。求为锐角），（、已知tan032cos3rldmm8989889ABCD4、如图,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,BC=12,BD=,求∠A的度数及AD的长.38rldmm8989889小结:我们学习了30°,45°,60°这几类特殊角的三角函数值．rldmm8989889作业课本P82第3题《同步练习》P51-52（四）（五）28.1锐角三角函数（4）rldmm8989889,42tantan20EBDCDCACADCm，解：由已知得DABE1.6m20m42°C引例升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？,42tanDCAC.6.142tan20CBACAB这里的tan42°是多少呢？rldmm8989889前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢？这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：（1）我们要用到科学计算器中的键：sincostan（2）按键顺序◆如果锐角恰是整数度数时，以“求sin18°”为例，按键顺序如下：按键顺序显示结果sin18°sin18sin180.309016994∴sin18°=0.309016994≈0.31rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：◆如果锐角的度数是度、分形式时，以“求tan30°36′”为例，按键顺序如下：方法一：按键顺序显示结果tan30°36′tan3036tan30°36′0.591398351∴tan30°36′=0.591398351≈0.59方法二：先转化，30°36′=30.6°,后仿照sin18°的求法。◆如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解。rldmm8989889（3）完成引例中的求解：tan2042+1.619.60808089∴AB=19.60808089≈19.61m即旗杆的高度是19.61m.6.142tan20ABrldmm8989889练习:使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到0.01）（1）sin20°，cos70°；sin35°，cos55°；sin15°32′，cos74°28′；（2）tan3°8′，tan80°25′43″；（3）sin15°+cos61°tan76°.rldmm8989889按键的顺序显示结果SHIFT20917.301507834sin·7=已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能键“sin－１Cos－１，tan－１”键例如：已知sinα＝0.2974,求锐角α．按健顺序为：如果再按“度分秒健”就换算成度分秒，°′″即∠α＝17o18’5.43”2、已知锐角的三角函数值，求锐角的度数：rldmm8989889例根据下面的条件，求锐角β的大小（精确到1″）（1）sinβ=0.4511；（2）cosβ=0.7857；（3）tanβ=1.4036.按键盘顺序如下:按键的顺序显示结果26048’51”0.sin115=4SHIFT°′″即∠β＝26048’51”rldmm8989889驶向胜利的彼岸练习:1、已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.6275，sinB=0.0547；（2）cosA=0.6252，cosB=0.1659；（3）tanA=4.8425，tanB=0.8816.rldmm89898892、已知tanA=3.1748，利用计算器求锐角A的度数。(精确到1′)答案:∠A≈72°52′练习:3、已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确到1′）（1）sina=0.2476；（2）cosa=0.4；（3）tana=0.1890.答案:(1)α≈14°20′;(3)α≈10°42′.(2)α≈65°20′;rldmm89898894、一段公路弯道呈弧形，测得弯道AB两端的距离为200米，AB的半径为1000米，求弯道的长（精确到0.1米)⌒⌒ABOR