(经典)拉格朗日方程

第2章拉格朗日方程内容:•基本概念•理想完整系的拉格朗日方程•对称性和守恒定律重点:完整保守系的拉格朗日方程难点:拉格朗日方程的推导牛顿力学理论几乎都以力为基础，因此它的应用只局限于纯力学问题的范畴，运算也比较烦琐。18世纪伯努利、达朗贝尔、欧拉等人发展了经典力学的分析形式。1788年拉格朗日发表了名著《分析力学》，建立了经典力学的拉格朗日形式，用体系的动能和势能取代了牛顿形式的加速度和力，将力学的研究和应用范围开拓到整个物理学。F2.1分析力学的基本概念2.1.1约束、自由度（1）约束限制体系各质点的自由运动的条件称为约束。约束的数学表达称为约束方程。例如一质点限制在xy平面上运动，其约束方程为：Z=0。如果约束只是限制质点的几何位置，称为几何约束或完整约束，约束方程为0);,,(21trrrfn（2.1）如果约束除了限制质点的位置外，还要限制质点的运动速度则称为运动约束或微分约束，约束方程为0);,,;,,(2121trrrrrrfnn（2.2）微分约束通过积分可变为几何约束，不能积分即不能变为几何约束时称为非完整约束。（2）自由度能完全描述体系的运动所需要的可独立变化的坐标参量数目，称为体系的自由度。例如一质点在空间运动时其位置需要三个独立的坐标参量表示，自由度为3；约束（限制）在一平面上运动时，自由度为2；约束在一直线上运动时自由度为1。一个由n个质点组成的力学体系受k个完整约束时，其约束方程为0);,,(21trrrfnj；j=1，2，…k，（2.3）2.1.2位移理想约束（1）虚位移和实位移自由度为S=3n-k（2.4）rdr图2.1P想象在某时刻t，质点发生一个约束所许可的无限小位移，这一位移不是质点实际运动产生的，而是想象的可能发生的无限小的位移称为虚位移，用r表示。)(trrrd运动时，在dt时间内实际发生位置变更称为实位移用表示。质点按规律（2）理想约束NiFNiFiriNiirFw.设质点i受到的约束力为，力在虚位移过程中做的虚功为，若整个体系的虚功0.iiNirF(2.5)则体系所受的约束称为理想约束。例如光滑曲面、光滑曲线、光滑铰链、不可伸长的杆或绳等都是理想约束。（3）广义坐标建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标称为广义坐标，广义坐标确定了，体系在空间的位形（体系的位置状态）就确定了。广义坐标可以是坐标变量，也可能是是角动量或其他独立变量，凡能用来表述体系的位形、运动和动力学状态的独立参量都可作为广义坐标。广义坐标的条件是：互相独立；满足约束方程；唯一确定体系的位形式动力学状态。用广义坐标表出的动力学方程称为拉格朗日方程，可以直接由牛顿第二定律导出。imiriFNiF图2.2O（1）达朗贝尔方程设受约束的质点系中质点i所受的主动力和约束力分别为和，位矢为，由牛顿iFNiFir第二定律有,,,2,1,niFFrmNiiiiNiFir,,,2,1,niFFrmNiiii给质点i以虚位移，得ir0).(iiiNiirrmFF对整个质点系iiiiNiirrmFF0).(iiiiirrmF0).(（2.6）上式称为达朗贝尔（d′Alembert）方程，是理想约束体系动力学普遍方程。思考：达朗贝尔方程的优点和不足之处是什么？（2）拉格朗日方程消去达朗贝尔方程中的虚位移，并用广义坐标表出的体系的动力学方程即是拉格朗日方程。ir•求虚位移ir是位矢的变分，运算规则是：算符δ作用在空间坐标上时与微分算符d的运算规则一样，作用在时间t上则为零，即δt=0。irirr设体系由n个质点组成，受k个理想完整约束，其自由度为s=3n-k，即需要s个独立坐标即广义坐标，用表示K，则sqqq,,21在理想约束条件下，有),,,,(21tqqqrrsii（2.7）)8.2(,,2,1,,12211sqqrqqrqqrqqrrsissiiii将（2.8）式代入（2.6）式：0]).([).(1111qqrrmFqqrrmFiiiniissiiinii因q是独立的，所以0).(1qrrmFiiinii0..11qrFqrrminiiiniii（2.9）第二项qrFQinii1.（2.10）为广义力qrrmqrrmdtdqrrminiiiiniiiiniii.).(.111（2.11）trqqrtqrdtdrisiii1),(（2.12）体系动能),,(2112tqqTrmTniiiniiiiniiiqrrmqrrTqT11..（2.13）niiiiniiiqrrmqrrTqT11..（2.14）将（2.13）式、（2.14）式代入（2.11）式：qTqTdtdqrrminiii)(.1（2.15）将（2.10）、（2.15）式代入（9）式，得sQqTqTdtd,,2,1,)(（2.16）上式为理想完整系的拉格朗日方程。其中：qrFQinii.1——主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量（不包含约束反力）),,(2121tqqTrmTiini——体系相对惯性系的动能qTp——广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量（3）保守体系的拉格朗日方程如果主动力都是保守力，即VF，则为广义力qVqrrVqrFQiniiinii..11将上式代入（2.16）式，得0)(qLqLdtd（2.17）想一想：（2.17）式的成立、适用条件是什么？上式为保守体系的拉格朗日方程，常用的一种拉格朗日方程。式中：),,(tqqLVTL（2.18）为拉格朗日函数，是表征体系约束运动状态和相互作用等性质的特征函数。（4）对拉格朗日方程的评价拉氏方程的特点（优点）：•是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。•方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。•拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。拉氏方程的价值拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。2.3拉格朗日方程的应用解：（1）求运动规律体系的自由度为1，以r为广义坐标，拉格朗日函数为tmgrrrmYTLsin)(21222（1）tmgmrrLrmrLdtdsin,)(2代入拉氏方程得tgrrsin2（2）[例1]转动杆上质点的运动如图2.3所示，一光滑杆在竖直平面OYZ内以角速度ω绕水平轴ox转动,一质点约束在杆上运动,t=0时0,rbt,求质点的运动规律和杆的约束反力NF。上式为二阶线性常系数非齐次微分方程。设ttrsinsin1（3）是（2）式的一个特解，将（3）式对t求二次导数，得)cossin(2ttr（4）则（2）式的解为tgBeAerttsin22（6）根据初始条件：t=0时，0,rbr可得2242,42gbBgbA将（3）、（4）式代入（2）式解得0,22gtgrsin221（5），所以（2）式的一个特解为代入（6）式，得质点的运动规律]sin[22ttshgtbchr（7）（2）求约束反力由牛顿第二定律，有cos)2(mgFrrmN由（7）式，有]cos[2ttchgtshbr（9）（9）式代入（8）式得约束反力将0,,t代入上式，得)2(cosrmtmgFN（8）tmgtmgchtbshmFNcos222[例2]平面上的约束质点的运动教材P.45[例4]解：（1）求体系质点的L函数，运动方程及其解质点的自由度为1，选取图中的θ角为广义坐标，则sin)()cos1(cos)(sinrlryrlrxcos)(sin)(rlyrlx拉格朗日函数为2222)(21)(21rlmyxmL（1）)(rlmL2)(rlmrL将和代入拉氏方程得质点的运动微分方程为0)(2rrl（2）0])[(rldtd积分得0)(crl（3）再积分得质点运动规律为trl0221trllrt022(1)(（4）（2）质点碰到柱体的位置和时间当rlQmax时小球与柱体相碰由（3）式有0)(dtdrl积分dtdrlrlt000)(得022rlt（5）sqrFQinii,,2,1,0.1（2.18）应用拉格朗日方程不仅可以解体系的动力学（运动）问题，也可以求解体系的静力学（平衡）问题。体系处于平衡时，动能恒为零，此时拉氏方程变为若主动力均为保守力，则sqV,,2,1,0（2.19）（2.18）和（2.19）式即是体系的拉格朗日平衡方程。[例3]求体系的平衡位置教材：P.46[例1]解：体系自由度：2，广义坐标：21,,cos2,sin2111111lylx2211222112cos2cos,sin2sinllyllx2211222112cos2cos,sin2sinllyllx0cossinsin2....11112111131221111111FlglmgmlxFygmygmrFQnii0cossin20....222223222211212FllxFygmygmrFQinii所以gmmFtg)2(2211gmFtg222[例4]求体系平衡时所受的力教材:P.48[例3]解:本题要求的是体系平衡时杆AO和BO所受的约束力.由于拉氏方程不出现约束力，故不能直接应用拉氏方程求约束力。但如果去掉约束条件，增加一个自由度，把相应的约束力当作主动力，则仍可应用拉氏方程求解约束力。如图2.6所示,体系自由度为1,广义坐标为θ,广义力0....BTATATcrFrFrFrFQ0)cos(.)cos(.)sin(.lFlFjljFTT0sinsin.coslFlFFlTTCOBOFctgFFFT22sin2cos[例5]带电粒子在电磁场中的拉氏函数(教材*§2.5)和均匀磁场教材:P.51[例].求质量为m,电荷为q的粒子在均匀电场jEE