直观想象&几何直观【曹培英】

试谈“几何直观”与“直观想象”曹培英跨越断层走出误区一、几何直观义务教育数学课程标准：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。案例1：学困生研究“你喜欢什么样的数学题”？“我最喜欢看图写数，一看就会”1231：理解手段直观教学：感知→概念(思维)一、几何直观义务教育数学课程标准：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。案例2：原来每天写10个字,每周写5天。现在每天多写2个字,每周写7天。现在每周比原来多写多少字？2×7？10字5天多种算法：理解←描述→探索2×7＋10×22×5＋12×212×7－10×5数学认知风格：代数型；几何型5天多写的＋双休日写的7天多写的＋原2天写的手段一、几何直观义务教育数学课程标准：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。案例3：161814121121418116116151611－128164132116181412112812712811－：理解←描述→探索16151612481168421本质上都是看出来的、预测手段一、几何直观义务教育数学课程标准：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。孔凡哲、史宁中：几何直观是指，借助于见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系，对数学的研究对象(空间形式和数量关系)进行直接感知、整体把握的能力。的能力。：理解←描述→探索、预测一、几何直观孔凡哲、史宁中：几何直观是指，借助于见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系，对数学的研究对象(空间形式和数量关系)进行直接感知、整体把握的能力。感知：感觉、知觉的统称客观事物通过感觉器官在人脑中的直接反映整体把握：高层次的思维全面的、深层次的理解认二、相关概念的辨析几何直观与直观几何？基于直观的数学思维侧重直观的几何课程几何直观与几何直觉？倾向于整体把握、洞察倾向于本能意识、猜想几何直观与空间观念？空间观念是几何直观的基础几何直观是空间观念的运用与升华“课标(实验稿)”中的“空间观念”已涵盖几何直观rR222242rrRS案例4：如图，“”与“”，哪个面积大?几何直观与几何推理？几何推理始于几何直观（两层意思）几何公理依赖直观直观帮助发现几何规律几何推理确认几何直观有时，几何直观具有几何推理难以企及的优势案例5：正方形盒内放相同月饼，使月饼直径最大。1个2个4个二、相关概念的辨析几何直观与数形结合？共同部分：“形使数更直观”区别部分：“数使形更入微”几何本身也要依靠直观几乎所有的举例都是“数形结合”。有没有不是数形结合的几何直观呢？欧氏几何公理是相当纯粹的几何直观，基本不靠数形结合。案例6：两点之间的连线线段最短。案例7：一般的平行四边形不是轴对称图形。依靠直观确认，难以证明。二、相关概念的辨析三、直观想象高中数学课程标准：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。是几何直观与空间想象能力的整合把“想象”去掉，实际上就是“数形结合”——何小亚三、直观想象克莱因：数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。希尔伯特：在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾向。一种是抽象的倾向……另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的的意义，也可以说领会它们的生动的形象”。史宁中：数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象。人获得知识所凭借的，是先天的同时又依赖于经验的“直观能力”,数学抽象能力与这种直观能力是同构的，也是一种依赖于经验的先天抽象能力。讨论这种抽象至少可以给数学教育提供两个重要启迪：一个是受教育者应当在适当的时机给予适当的教育；另一个是在传授知识的同时也应当注重培养受教育者的直观能力。直观能力：并不局限于几何；是一种整体把握、深刻洞察四、直观能力的实践解读1.直观对于数学教学具有双重意义一方面，它是数学抽象的基础与数学认知的支撑；另一方面，它又是数学理解、抽象的重要内涵与数学认知的深化。2.有必要区分直观的层次直观感知：感性认识；具体的直观理解：理性认识；一般的直观洞察：理性认识的升华；深刻的其他数呢？还需要再举例吗？为什么？………………………………ab案例8：运算律四、直观能力的实践解读3.直观并非局限于几何直观（数形结合）案例9：百米赛跑，速度越快，时间越短路程一定，速度与时间成反比例经验直观→几何直观案例10：因数与积的大小关系几何直观不如经验直观五、直观能力的培养策略以几何直观为主，其他直观为辅直观语言直观→替代物直观实物直观模象直观图形直观图像直观经验直观五、直观能力的培养策略以几何直观为主，其他直观为辅1.加强空间观念的建立2.加强数形结合的运用一直大量采用，需要提升水平如：停留在看图找规律水平上案例11：看数列更易发现规律→看图解释规律五、直观能力的培养策略以几何直观为主，其他直观为辅3.加强构造直观的训练如：示意图→线段图→韦恩图→长方形图→……对应型直观：函数与图像、分数应用题与线段图……模式识别、匹配构造型直观：没有已知、明显、约定的对应关系类比迁移、顿悟；合理的对应关系案例12：奇偶数的示意图（几何模型）后测题之一：如果一个很大的奇数和一个很大的偶数相加，和一定是奇数么？为什么？少数用个位相加说明多数用几何模型说明nm(2n＋1)＋2m＝2(n＋m)＋1（具有一般性）1382m2n＋1五、直观能力的培养策略以几何直观为主，其他直观为辅3.加强构造直观的训练案例13：田径队男生平均体重42千克，女生平均体重38千克。全体队员平均体重可能是多少？男女人数相等：(42＋38)÷2＝40；男生人数更多时,在40～42之间；女生人数更多时,在38～40之间。男人数42女＝女人数38男男人数42女＞女人数38男五、直观能力的培养策略用矩形图解释加权平均40五、直观能力的培养策略以几何直观为主，其他直观为辅1.加强空间观念的建立2.加强数形结合的运用3.加强构造直观的训练如：示意图→线段图→韦恩图→长方形图→……4.重视数学的直观理解什么是理解？理解作为一个过程是指个体运用已有知识、经验去认识未知事物的属性、联系，直至揭示其本质及规律的思维过程。理解是在新情境中灵活运用理论和概念的能力。教师关注理解的表现：知其然→知其所以然解释说明寻找例证概括归纳解决问题……五、直观能力的培养策略以几何直观为主，其他直观为辅1.加强空间观念的建立2.加强数形结合的运用3.加强构造直观的训练4.重视数学的直观理解案例14：分数乘除法321818÷3×2321818÷2×3“归一”18的三分之二已知一个数的三分之二是18，求这个数2318321918191819181918191861918191819189语言直观与经验直观的整合数学教育的中华民族特色五、直观能力的培养策略以几何直观为主，其他直观为辅1.加强空间观念的建立2.加强数形结合的运用3.加强构造直观的训练4.重视数学的直观理解5.重视数学的直观洞察直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推理、想象，获得对事物及其关系(规律)的整体把握、本质认识。怎样让学生直观知其然？面积（cm2)长+宽=871周长（cm)167用16厘米长铁丝围长方形，面积？长宽（cm)（cm)71案例15：62-1+1五、直观能力的培养策略面积（cm2)长+宽=8716253周长（cm)16127-1+1-1+1长宽（cm)（cm)71+5怎样让学生直观知其然？用16厘米长铁丝围长方形，面积？案例15：五、直观能力的培养策略面积（cm2)长+宽=87162周长（cm)16127-1+1长宽（cm)（cm)7153-1+1+5怎样让学生直观知其然？用16厘米长铁丝围长方形，面积？案例15：五、直观能力的培养策略面积（cm2)长+宽=87162周长（cm)16127-1+1长宽（cm)（cm)715315-1+1+5+34416+1怎样让学生直观知其然？用16厘米长铁丝围长方形，面积？-1+1面积增加越来越小→面积定有最大值案例15：五、直观能力的培养策略观察→类推→验证五、直观能力的培养策略以几何直观为主，其他直观为辅1.加强空间观念的建立2.加强数形结合的运用3.加强构造直观的训练4.重视数学的直观理解5.重视数学的直观洞察直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推理、想象，获得对事物及其关系(规律)的整体把握、本质认识。数学本质上是思维学科……案例16：三角形三边关系数学本质上是思维科学……作为数学教师，我们理解了吗？两种处理区别何在？线段公理三边关系构成三角形←选择三边长度已知三角形→发现三边关系清一色反对琵琶的反思：为什么动物都有的本能，竟成了教学的难点？五、直观能力的培养策略引入→讨论→结论→应用任意两边之和＞第三边两边之和＝第三边两边之和＜第三边推理、想象能消弭难点逆向思维导致难点？→依据“真正的儿童数学”数学本质上是思维科学……五、直观能力的培养策略首先，想象与经验本身具有局限性。案例16：华罗庚的“困惑”什么样的六角形钝角109°28′,锐角70°32′,都小于120°，不懂！既说蜂窝是六角形的，又说它是菱形容器。不懂！这样想，那样推，无法形成一个形象。必须请教实物，到底是怎样的形状！感谢刘崇乐教授，给了一个蜂房……六、直观的局限性首先，想象与经验本身具有局限性。案例16：华罗庚的“困惑”想象不出→看一眼就知道案例17：“折纸”一张纸对折30次，有多厚？不可能对折30次！0.1mm＝0.0001m，不敢想象→无法验证无需验证六、直观的局限性……0.0001×2308844m▲≈10737(m)一卷85美元1200米长特制卫生纸折叠了11次首先，想象与经验本身具有局限性。其次，直观具有启发猜想、发现真理功能，却不总能兼备证明真理、确保真理可靠性功能(公理除外)。如同合情推理，本质是一种或然推理。这是数学自身特点(高度抽象与严谨)所决定的。一句话：直观具有或然性。有时，可能导致悖论。案例18：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？六、直观的局限性→夹角为0平面上两直线相交平行重合(没有交点)(一个交点)(无数交点)→间距为0从量变到质变六、直观的局限性直观具有启发猜想、发现真理的功能，却不总能兼备证明真理、确保真理可靠性的功能（公理除外）。如同合情推理，本质是一种或然推理。这是数学自身特点(高度抽象与严谨)所决定的。一句话：直观具有或然性。有时，可能导致悖论。案例18：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？有必要指出：将几何直观列为义务教育数学课程的核心追求之一，有积极意义，至少：有利于加深对直观的认识有利于指导直观教学的改进与提升说到底“直观”是人