第十九次课 正定二次型

只含平方项的二次型2222211nnxkxkxkfnnnxxkkxx111],,[称为二次型的标准形(或法式)。定义6.10（二次型标准形）平方项系数只在1,-1,0中取值的标准形221221rppxxxxf称为二次型的规范形。（见书第五节二次型的规范形）以上说明：化为标准形的过程，经过可逆线性变换二次型CYXAXXfT.,的秩不变且二次型合同的对角矩阵寻找一个与对称矩阵fACCBAT注意：..1必为对称矩阵的矩阵二次型Af2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.设二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为:)0(22112211irrppppkykykykykf(思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换nrizyrizkyiiiii,,1,,2,11则f化为221221rppzzzzf思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？任意一个实二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx定理6.12(惯性定理)总可以经过一个适当的可逆线性变换化成如下形式的规范形2212222121)(rppnzzzzz,z,,zzf其中r是二次型f的秩，p是二次型f的矩阵A的正特征值个数（重根按重数计），r-p是矩阵A的负特征值个数（重根按重数计），且规范形是唯一的.证明略二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数,负项个数称为二次型的负惯性指数.设二次型f的秩为r,正惯性指数为p,则负惯性指为r–p.f的规范形为221221rppxxxxf惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定。nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,,),(cCij记Cyx)0(22112211irrppppkykykykykfnrizyrizkyiiiii,,1,,2,11)11,11,1(21rkkkDiagDACDZCDZACYCYAXXfTTTTTTDZY推论6.11(惯性定理的矩阵语言描述)正、负惯性指数与实二次型的矩阵A的正、负特征值的个数对应相等.n阶实对称矩阵A合同于，其中r是A的秩，0--prpEEp是A的正特征值个数，r-p是A的负特征值个数.（重根按重数计）惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定.思考并回答(1)二次型的标准形唯一吗？(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？(3)设CTAC=D(C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？(4)设4阶对称矩阵A的特征值为0,2,2,-3,A的二次型的规范形是什么？思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？如果n维的二次型f(x)=xTAx其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵A称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。定义)0(2222211innkykykyk化标准形化规范形22221nzzzAxxxfT)(正定二次型为正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。显然，如果f负定，则–f正定，以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。)(可逆CCCECCATT定理二次型f(x)=xTAx正定的充要条件是对任意x≠0，都有f(x)=xTAx0.(注：书上以后者为定义)AxxxfT)(2222211nnykykyk证设yCx可逆C必要性：设f正定，即),,2,1(0niki对任意x≠0，则，故01xCy0)(2222211nnykykykxf充分性：反证。如果有某个，取0ik0ieCxiiTTikeACCexf)()(,与矛盾。0ik如果n维的二次型f(x)=xTAx其标准形系数全为正(秩和正惯性指数都等于n)，则称之为正定二次型，二次型的矩阵A称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵.定义6.13显然，如果f负定，则–f正定.设f(x)是实二次型，若对任意非零向量x，(1)恒有f(x)≥0，则称实二次型f(x)是半正定的；(2)恒有f(x)≤0，则称实二次型f(x)是半负定的.定义6.14我们重点讨论正定二次型(正定矩阵).,011a,022211211aaaa,01111nnnnaaaa定理(霍尔维茨定理)对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即总结:二次型f(x)=xTAx为正定二次型(A为正定矩阵))0(0)(TxAxxxf0)(Ai)(T可逆CCCA0的各阶顺序主子式A判别二次型32312123222132148455,,xxxxxxxxxxxxf是否正定.它的各阶顺序主子式,051,0112252013A故上述二次型是正定的.例1,524212425Af的矩阵为解例2解判别二次型312322213214542,,xxxxxxxxf是否正定.二次型的矩阵为502040202A6,4,1321即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值判别二次型xzxyzyxf44465222的正定性.,051,0262,0803A例3解,402062225A二次型的矩阵它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别－Ａ为正定.例4与矩阵合同的矩阵是()100001011A111)A(111)B(111)C(111)D(A特征值是两正一负。是正定二次型？32312123222132122222,,xtxxxxxxxxxxxf解二次型的矩阵为2121111ttAtttt22121111,012111,01A的顺序主子式为：所以当,02t例5问t满足什么条件时，二次型A的顺序主子式全大于0，此时f正定。例6设是正定矩阵,证明)(ijaA0iia0iiiTiaAee例7证明ATA为正定矩阵的充要条件是A为列满秩矩阵.0)()()(,0AxAxxAAxxTTTnArAxnm)(0例8为A的最大特征值。证明：二次型f(x)=xTAx在时的最大值1x是最大的特征值设12222211)(nnyyyxfyQx正交Q1xy1222211)()(nyyyxf11对应的单位特征向量为特别取x1111111)(TTAf思考题：1、.________,0000000000000004,1111111111111111BABA与则设(1)合同且相似；(2)合同但不相似；(3)不合同但相似；(4)不合同且不相似；化为标准形经正交变换、设PYXAXXfT2,3232221yyyf求原二次型。），，的一个特征向量为（对应若,1223TA正定二次型本节讨论二次型的分类问题.重点是正定二次型.在n维的二次型中,如果两个二次型xTAx和yTBy可以互化，即ByyyACCyAxxTTTT)(可逆CyCx则称这两个二次型等价。这相当于ACCBT即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩阵的合同等价类。什么条件决定两个二次型等价？我们知道,等价的二次型有相同的秩,也就是标准形中平方项个数相等.但秩相等的两个二次型不一定等价.例如与不可能等价.2221xxf2221yyg因为不存在可逆矩阵C满足1001CCECCTT1)2,2(222212ccCCT元素为的因为例6.16设A为正定矩阵，证明.1EA证明因为A为正定矩阵，所以A的特征值全大于零.设n,,,21是A的所有特征值，则A+E的特征值为1,1,,121n从而111121nEA例6.17设A=(aij)是正定矩阵，证明aii0(i=1,2,…,n).证明因为A为正定矩阵，则对于任意n元实向量x≠0，有xTAx0，特别地，取.,,2,1,niXi这里是第i个i分量为1，而其余的分量为0的n元列向量，则有),1,2,(0niaAiiiTi这是一个必要而非充分条件