5-1定积分的概念及性质

2020/2/28第5章定积分与不定积分32-12020/2/28在数学发展史上，定积分的概念早于微分，直到17世纪，出现了微积分基本定理后，使得定积分与不定积分，以及微分学构成一个完整的体系，这就是微积分学．因此本章首先介绍定积分，导出微积分基本定理，再由此引出原函数和不定积分的概念，建立了牛顿-莱布尼茨公式，最后解决积分计算问题．32-22020/2/285.1定积分的概念及性质5.1.1定积分概念的导出背景5.1.2定积分的定义5.1.3定积分的几何意义5.1.4可积的条件5.1.5定积分的性质32-35.1.1定积分概念的导出背景计算平面图形的面积是工程技术各领域中的一个基本内容．从古埃及的丈量土地，到现代的科学技术发展都离不开面积计算．计算面积的方法多种多样．㈠几何背景——曲边梯形的面积2020/2/2832-4曲边梯形：指由三条直线与一条曲线所围成的平面图形，其中有两条直线互相平行，第三条直线与前两条直线互相垂直，叫做底边，第四条边是一段曲线弧，它与任一条垂直于底边的直线只交于一点．有时曲边梯形也退化成下列情形：（曲边三角形）2020/2/2832-52020/2/28一般地，将一个平面图形可以划分为若干个曲边梯形．由于面积具有可加性，如果能求出曲边梯形的面积，那么平面图形的面积计算问题便可迎刃而解．设()yfx在[,]ab上连续，且()0fx，现在求由x轴，直线,()xaxbab及曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积A．32-611-72020/2/28由于矩形的面积可直接计算，因此用平行于y轴的直线将曲边梯形分成许多小曲边梯形，并且因为()yfx在[,]ab上连续，使得每一个小曲边梯形上对应曲线的纵坐标()fx变化较小，每一个小曲边梯形可近似视为一个矩形，从而近似求得其面积，然后将各小矩形的面积加起来，就可得到原曲边梯形面积的近似值（见图5-1-4）．2020/2/2832-7下面我们分四步来详细地介绍．⑴分割：把曲边梯形分割成n个小曲边梯形．在[,]ab中任意插入1n个分点01211iinnaxxxxxxxb，将[,]ab分为n个小区间1[,],1,2,,iixxin，其区间长度分别为1iiixxx，1,2,,in．过每个分点ix作平行于y轴的直线，将曲边梯形相应地分割成个小曲边梯形，用iA表示第i个小区间1[,]iixx上的小曲边梯形的面积，则有121.nniiAAAAA2020/2/2832-8⑵近似：在每个1[,]iixx上任取一点1()iiiixx，并以高为()if，底为ix的小矩形的面积作为iA的近似值，即(),1,2,,iiiAfxin．⑶求和：将n个小矩形面积相加，就得到曲边梯形面积A的近似值11()nniiiiiAAfx．⑷取极限：记1max{}iinx，如果0，则意味着每个小区间的长度都无限地变小，从而区间[,]ab被无限细分，此时有01lim()niiiAfx．2020/2/2832-9设某物体作变速直线运动的，已知运动速度()vt是时间间隔12[,]TT上的连续函数，且()0vt，求在时间间隔12[,]TT上物体所运动的路程s．㈡物理背景——变速直线运动的路程由于()vt是随时间t的变化而变化的，因而不能简单地利用匀速直线运动的公式：路程=速度×时间来计算变速直线运动的路程．2020/2/2832-102020/2/28下面也分四个步骤，求出在时间间隔12[,]TT内物体所运动的路程s．⑴分割：将12[,]TT任意分成n个小时间段1[,]iitt，1,,in，其中012,ntTtT．记1iiittt，在1[,]iitt内物体经过的路程为is，1,2,,in．⑵近似：在1[,]iitt上任取时刻1()iiiitt，用该时刻的速度()iv近似代替这小段时间内各时刻的速度，因此在1[,]iitt上可近似认为物体作匀速直线运动，故有(),1,2,,iiisvtin．32-112020/2/28⑶求和：将各小时间段上物体所经过的路程的近似值相加，得到s的近似值1()niiisvt．⑷取极限：记1max{}iint，令0时，有01lim()niiisvt．上述两个问题中，虽然背景不同，但解决问题的思想、方法和步骤却完全相同．现在抛开其实际背景，从数学的结构加以抽象概括，便可引出了定积分的概念．2020/2/2832-122020/2/285.1.2定积分的定义定义5.1.1设()fx为[,]ab上的有界函数，在[,]ab上任意插入1n个分点01211iinnaxxxxxxxb，将[,]ab分成n个小区间1[,],1,2,,iixxin，记1iiixxx，1,2,,in，1max{}iinx．在每个小区间1[,](1,2,,)iixxin上任取一点i，作和式1()niiifx，如果不论对[,]ab怎样分割，也不论每个小区间1[,]iixx上的i如何选取，01lim()niiifx总存在，且为同一常数I.就称为函数()fx在[,]ab上可积，32-132020/2/28极限值I为()fx在[,]ab上的定积分，记作()dbafxx，即01()dlim()nbiiaiIfxxfx．(5.1.1)其中()fx为被积函数；x为积分变量；[,]ab为积分区间；a与b分别为积分下限与积分上限；为积分号，它是拉长了德文字母s，是由莱布尼茨(Leibniz)首次使用；()fxdx为被积表达式；1()niiifx为积分和，这是由黎曼(Reimann)给出的，也称黎曼和．32-142020/2/28曲边梯形的面积A可以表示为()dbaAfxx；变速直线运动的路程21()dTTsvtt．关于定积分定义的几点说明：⑴当0时，意味着将区间[,]ab无限细分，此时分点的个数无限增多，从而有n．但反之未必，即当分点的个数无限增多时，未必能将区间无限细分，因此，0与n不等价．特别地，如果将区间[,]ab进行等分，则0与n是等价的．32-152020/2/28⑵由定义2.1.1知，()fx为[,]ab上的有界函数是()fx在[,]ab上可积的必要条件．因此，暂不考虑()fx为[,]ab上的无界函数的情形．如果()fx在[,]ab上无界，我们将在反常积分中介绍有关理论．⑶定积分()dbafxx是一个常数，与积分变量的符号表示无关，因此有()d()d()dbbbaaafxxfttfuu．32-162020/2/28⑷在定积分()dbafxx的定义中，积分下限a必须小于b积分上限．这有时给定积分的运算带来了不便，也限制了定积分理论的发展，为此对定积分作如下补充规定：①当ba时，()d0aafxx；②当ba时，()d()dbaabfxxfxx．这样，无论,ab的大小关系如何，()dbafxx都有意义．32-175.1.3定积分的几何意义如果()0fx，则()0fx．此时曲边梯形的面积为()dbaAfxx，也就是说，当()0fx时，定积分()dbafxx是曲边梯形面积的相反值（见图5-1-6）．图5-1-5图5-1-6由已经介绍的内容可知，如果()yfx在[,]ab上连续，且()0fx，则()dbafxx表示相应的曲边梯形的面积A（见图5-1-5）．2020/2/2832-18一般地，当()fx的符号不定时，定积分()dbafxx表示曲边梯形在x轴上方部分图形的面积减去x轴下方部分图形的面积，也称为面积的代数和．如图5-1-7所示，我们有123()dbafxxAAA．图5-1-72020/2/2832-19例5.1.1计算21dxx．解从几何上看，21dxx表示直线1,2,xxyx及x轴所围成的梯形的面积，所以21(12)13d22xx例5.1.2()d2baabxx解()d2baabxx表示面积的代数和，再利用对称性可知，()d02baabxx2020/2/2832-205.1.4可积的条件由定义5.1.1知，对区间[,]ab进行不同的划分，或在1[,]iixx上i取不同的点，往往得到不同的积分和．如果当0时，所有积分和的极限均存在，且趋于同一个常数，则函数()fx在[,]ab上可积，否则，称()fx在[,]ab上不可积．事实上，并非每一个在[,]ab上有界的函数()fx都是可积的．例5.1.3证明狄雷克莱(Dirichlet)函数1,()0,xDxx有理理，为数为无数在[0,1]上不可积．2020/2/2832-21证将[0,1]任意地分割为n个小区间1[,],1,2,,iixxin，其中00,1nxx．如果i取1[,]iixx中的有理点，则11()11nniiiiiDxx，01lim()1niiiDx．如果i取1[,]iixx中的无理点，则11()00nniiiiiDxx，01lim()0niiiDx．所以()Dx在[0,1]上不可积．2020/2/2832-22定理5.1.1如果函数()fx在[,]ab上连续，或者在[,]ab上仅有有限个第一类间断点，则()fx在[,]ab上可积．注：函数()fx在[,]ab上连续()fx在[,]ab上可积．定理5.1.2如果函数()fx在[,]ab上可积，[,][,]cdab，则()fx在[,]cd上也可积．2020/2/2832-23例5.1.4证明()xfxe在[0,1]上可积，并计算10dxex．证由于()xfxe在[0,1]上连续，因而由定理5.1.1知，()xfxe在[0,1]上可积．将[0,1]n等分，分点为,0,1,2,,iinn，每个小区间的长度为1ixn，并取1[,],1,2,,iiiiinnnn，则11011111111dlimlimlim()1(1)1(1)limlim1.11iinnnxinninnniiinnnnnexexeenneeeeennen2020/2/2832-245.1.5定积分的性质性质5.1.1（线性性）1212[()()]d()d()dbbbaaakfxkgxxkfxxkgxx.注1：特例;()d()dbbaakfxxkfxx．[()()]d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx．注2：推广1122[()()()]dbnnakfxkfxkfxx122()d()d()dbbbnnaaakfxxkfxxkfxx．假设下列性质中的积分都是存在。2020/2/2832-25性质5.1.2（依区间可加性）()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx，acb．注：可以证明，对于,,abc的其它各种大小关系，性质5.1.2也是成立的．性质5.1.3（几何度量性）dbaxba．性质5.1.4（保号性）如果在[,]ab上()0fx，则()d0bafxx．注：反之未必，即()d0bafxx在[,]ab上，()0fx．2020/2/2832-26推论5.1.1（保序性）如果在[,]ab上()()fxgx，则()d()dbbaafxxgxx．推论5.1.2（积分绝对值不等式）()d()dbbaafxxfxx()ab．性质5.1.5（估值定理）设,Mm分别为()fx在[,]ab上的最大值和最小值，则()()d()bambafxxMba．性质5.1.6（积分中值定理）如果(