随机振动分析基础

随机振动分析基础1随机振动的特点•对某振动运动，其规律显示出相当的随机性而不能用确定性的函数来表达，使得只能用概率和统计的方法来描述，这种振动被称为随机振动。•随机振动可以由系统构成参数本身有随机性而导致，但在多数情况下主要由激振源的随机性所引起。本节主要研究这后一种情况，即确定性系统在随机激励下的振动响应。•汽车方面的典型例子是路面的随机凹凸不平使行驶的汽车产生随机振动；•被切削工件表层软硬不均使车刀及刀架产生随机振动；•风对建筑结构的随机激励；•地震对结构的随机激励；•浪使船舶产生随机振动；•大气湍流使机翼产生随机振动等等。•下图为一随机振动的时间历程样本函数表示。所谓样本函数是指随机振动本身是以时间t为过程参变量的函数过程。随机振动时间历程样本函数•从随机性的物理性质出发，这样各不相同的函数应有无穷多个，每一个只是一个样本，最后构成集合{xi(t),i=1,2,3,…;t∈[0,∞)}。•取尽各种可能性的无穷多个样本函数的集合称为样本函数空间。•取t=tk时刻各样本函数瞬时值构成一个序列X(s,tk)={xi(tk),i=1,2,3,…;tk∈[0,∞)}；•s用于表记对应不同的样本函数。每个xi(tk)是tk时刻的瞬时振动幅值，称为是随机变量X(s,tk)的在s=si的一个样本点；•所有样本点的集合S＝{si}就是随机变量X(s,tk)的样本空间；•随机变量X(s,tk)随样本点的不同随机地取不同的值，即X(s,tk)是样本点s∈S的函数。同时注意它也是过程参变量tk∈[0,∞)的函数。•当随机变量蕴含的是样本点的函数的意义明显且希望强调它是过程参变量t的函数时，简记此随机变量为X(t)。•当tk取不同值时，可得不同时刻的随机变量X(tk)；从原理上看，对于各样本函数是时间的连续函数的随机振动，只有t连续变化为无穷多个时刻而得出无穷多组随机变量X(t)才能完整地描述一个随机振动。•这样实际形成的是以时间为过程参数的一族随机变量，这样定义的随机变量族就被称为随机过程。随机振动是一种典型的随机过程。另外，也可以选用其它参数为随机过程的过程参数。2相关函数和功率谱密度函数1.相关函数•掌握随机变量的性质是通过了解它的概率结构，最自然是通过其概率密度函数p(x)或概率分布函数P(x)。完整地掌握p(x)或P(x)通常比较困难，因此常用的统计描述是讨论随机变量的各低阶矩数字特征，如数学期望（均值），均方值和方差等。•作为增加了过程参数t的随机变量族的随机过程，可通过对随机变量数字特征(矩函数)对过程参数的扩展定义来研究其统计特性。•对图1.5-1所示随机振动，取离散时刻t1,t2,…,tn可得一族随机变量X1,X2,…,Xn。•这些随机变量的概率结构可由概率密度函数及不同时刻的随机变量间的联合概率密度函数表达为p(x1,t1)，p(x2,t2)，…，p(x1,t1;x2,t2)，p(x2,t2;x3,t3)，…，(1.5-1)…，p(x1,t1;x2,t2;x3,t3;…;xn,tn)•上述表达的n维概率密度函数能够近似描述原连续的随机过程的统计特性，n越大近似程度越高，当n趋于无穷大时，(1.5-1)就完全表达了该随机过程的统计特性。•类似于研究随机变量统计性质时对各阶矩的定义，可定义随机过程的各阶矩函数如下：k=1,2,3,…,nk,j=1,2,3,…,nk,i,j=1,2,3,…,n……kkkkkMtxpxtdx1()(,)kjkjkkjjkjMttxxpxtxtdxdx2(,)(,;,)kijkijkkiijjkijMtttxxxpxtxtxtdxdxdx3(,,)(,;,;,)(1.5-2)•可以证明，用矩函数或用概率密度函数（或概率分布函数）来描述随机过程数学上是等价的。•理论上完整地确定一个随机过程，需要确定所有各阶矩函数，明显这对实际应用来说又是一个过分的苛求。因此，实践上特别强调运用低阶矩即1，2阶矩函数。•1阶矩函数称为均值函数，定义为(1.5-3)•2阶矩函数称为相关函数，定义为(1.5-4)txpxtdx()(,)xxRttxxpxtxtdxdx1212112212(,)(,;,)•(1.5-4)针对的是一个随机过程，因而可更细分地称为自相关函数，以双下标xx代表；•如果研究的对象包括有两个随机过程X(t),Y(t)，可以类似地定义出互相关函数如(1.5-5)xyRttxypxtytdxdy1212112212(,)(,;,)•均值函数和相关函数虽然只是随机过程的矩函数表达系列中的两个低阶矩函数，但它们却表征了随机过程许多重要统计特征。•特别对一类实际上很常见的高斯随机过程，其高阶矩函数可以由1，2阶矩函数表示，因此，对高斯随机过程，均值函数和相关函数完全表征了它的概率结构。•而对于非高斯过程，这两矩函数也代表了其统计性质中非常重要的一大部分。•高斯随机过程，又称为正态随机过程，是这样一种随机过程：它在任意时刻tk的状态都服从正态分布，即是高斯随机变量。•定义为：对于任意n，X(t)的n个样本为X(t1)，X(t2)，…，X(tn)，记x={x1，x2，…，xn}T，X={X(t1)，X(t2)，…，X(tn)}T，X(t)的n维联合概率密度函数为其中C为协方差矩阵记CX(ti,tj)=E[(X(ti)－X(ti))(X(tj)－X(tj))]，i，j=1,2,…，nE[.]为数学期望运算，有TXnnXXnpxtxt1111/2/2x11(,;;,)exp[(μ)C(xμ)]2(2)C•高斯随机过程是最常见的随机过程之一。•因为根据中心极限定理，当某随机变量是有大量相互独立的随机因素的综合影响而形成，且每一个别因素所起作用都相对微小时，该随机变量往往近似服从正态分布。)()()()(1111nnXnXnXX,ttC,ttC,ttC,ttCC•实际中满足中心极限定理条件的随机现象很多，当现象也是过程参数t的函数时即形成高斯随机过程。•高斯随机过程的高阶统计函数可以由1，2阶函数表示的性质以及线性变换不改变其高斯分布特性的性质使它在理论和实践上都有很大重要性。•在常见的均值函数为常数（或简单函数）的情况下，习惯通过线性位移变换将考虑的运动静态工作点移到零，这导致均值函数为零，称为零均值化。•因此最关心的系统动态特性的统计特征就主要由2阶矩函数——相关函数代表，这更加突出了相关函数在随机振动分析中的作用。2.平稳随机过程•如果一随机过程与过程参数t的起点无关，该随机过程即称为平稳随机过程；•如果随机过程与过程参数t的起点有关，该随机过程则称为非平稳随机过程。•平稳随机过程的概率结构可表为p(x1,t1)＝p(x1,t1+t)，…，p(x1,t1;x2,t2)=p(x1,t1+t;x2,t2+t)，…，…，p(x1,t1;x2,t2;…;xn,tn)=p(x1,t1+t;x2,t2+t;…;xn,tn+t)(1.5-6)其中t为任意常数。•如果(1.5-6)各式都成立，随机过程称为强平稳；如果只有前2式成立，则称为弱平稳。•一般情况下，判断是否强平稳非常困难，所谓平稳指的是弱平稳，简称平稳。•对于高斯随机过程，因为高阶概率密度函数可由1，2阶概率密度函数表达，弱平稳即为强平稳。•对平稳随机过程，1阶概率密度函数与参数t无关，可写为p(x)。由(1.5-3)可知它的均值函数与时间无关，记为x。•2阶概率密度函数只与时间差t=t2-t1有关，可写为p(x1,x2,t)。对于平稳随机过程的2阶矩函数——相关函数，有下列性质:(1)Rxx(t1,t2)=Rxx(t)，Rxy(t1,t2)=Rxy(t)，t=t2-t1。(2)Rxx(t)=Rxx(-t)；当t=0时，有Rxx(0)=E[x(t)x(t)]=sxx2，其中sxx2为均方值且与时间无关。(3)Rxy(t)=Ryx(-t)。（4）（5）（6）具体有特别xxxxxxRR2()(0)tsxyxxyyxxyyRRR()(0)(0)tssmnmnmxxmnxxdRRd()()()()()(1)()tttxxxxRR()()ttxxxxRR()()ttxxxxRR()()ttxxxxRR(0)(0)0（7）如果Rxx(t)是关于t的衰减函数，且均值函数x=0，有如果x不等于零，则xxRlim()0ttxxxR2lim()tt（8）设Z(t)=X(t)+Y(t)为两个平稳随机过程X(t)和Y(t)之和，有Rzz(t)=Rxx(t)+Ryy(t)+Rxy(t)+Ryx(t)；如果X(t)和Y(t)不相关，就有Rzz(t)=Rxx(t)+Ryy(t)。3.各态历经性•上述概率密度函数或矩函数都是在样本函数空间中定义的。即使计算低阶矩函数也要求在样本函数空间中平均。•理论上，样本函数空间要求无穷多个样本函数才算完备。•实际上可以获取的试验样本函数的个数通常是非常有限的，这就为实际数字特征量计算要求的样本平均带来了困难。•为解决这个问题，并通过对实际的随机过程的大量观察分析，提出了对某些随机过程有各态历经性的假设。所谓各态历经假设，是建筑在这样的物理观察和总结上的：•如果某一随机过程的概率结构与时间t的起点无关，对它的一个样本函数，如果演进时间无穷长，此样本函数可取得其样本函数空间所包含的所有概率可能性；•即它可以经历系统所有的可能状态，这随机过程就被称为有各态历经性。•在此假设下，各数字特征计算所要求的多个样本函数的样本平均就转化为只要求一个样本函数的时域平均。建立数字特征量的时间平均表达。对考察长度为T的一段样本函数x(t)进行时间平均，各阶矩函数的表达式为(1.5-7)…TTsxtdtT01()()TTRsxtxtdtT01(,)()()ttttTTMsxtxtdtT2301(,)()()tttt•(1.5-7)各式中的s标明它们都是随所用样本函数不同而不同的随机变量，它们也与考察时间长度T有关。•如果有(1.5-8)TTTTsxtdtsT01lim()lim()()TTTTRsxtxtdtRsRT01lim(,)lim()()(,)()ttttttTTTTMsxtxtdtMsMT233301lim(,)lim()()(,)()tttttt•即(1.5-7)中的各式当T趋于无穷大时都有极限存在，并且这些极限还与选用那一个样本函数无关，则此随机过程X(t)是严格各态历经的；•如果(1.5-8)中只有前两式成立，则称此随机过程X(t)是2阶各态历经。一般情况下所讲的各态历经性，指的就是2阶各态历经。•很明显，各态历经随机过程一定是平稳随机过程；反之则不一定成立。4.功率谱密度函数设平稳随机过程X(t)的自相关函数为Rxx(t)，Rxx(t)的傅立叶变换存在，记为(1.5-9)Sxx(w)称为X(t)的自功率谱密度函数，是w的非负实偶函数，w为圆频率。Sxx(w)与Rxx(t)形成傅立叶变换对，即又有jxxxxSRed1()()2wtwtt要(1.5-9)和(1.5-10)的傅立叶变换对存在，对变换函数有一定数学性质的要求。根据傅立叶变换存在性的绝对可积条件，可以证明，(1.5-9)存在的要求是(1.5-11)jxxxxRSed()()wttww(1.5-10)xxRd()ttt•(1.5-11)成立要求，这要求过程X(t)的均值x=0，此对一般平稳随机过程成立（或可以通过零均值化成立）。•其物理基础是：随着两时刻间隔t趋于无穷大，两时刻对应的随机过程值之间的相关性应趋于零。xxRlim()0tt•如均值不等于零，可通过线性变换Y(t)=X(t)-x来进行零均值化。•可以对照的是，对一般平稳随机过程X(t)，由