随机数学f2-4

§4连续型随机变量的概率密度概率密度及其性质指数分布均匀分布正态分布与标准正态分布返回主目录一.连续型随机变量的概念与性质§4连续型随机变量的概率密度定义如果对于随机变量X的分布函数，存在非负实函数，使得对于任意实数，有则称X为连续型随机变量，其中函数称为X的概率密度函数,简称概率密度.xdttfxF,)()(连续型随机变量X由其密度函数唯一确定．返回主目录)(xfx)(xf)(xF§4连续型随机变量的概率密度概率密度f(x)具有以下性质：.0)(10xf.1)(20dxxff(x)0x1返回主目录说明一定连续。不一定连续，但)()(xFxf.1)()(Fdxxf)(.)()()(}{3211221021xxdxxfxFxFxXxPxxf(x)x01x2x).()()(40xfxFxxf处连续，则有在点若§4连续型随机变量的概率密度返回主目录注意1密度函数不是概率！§4连续型随机变量的概率密度返回主目录由此可见根据性质4以及导数的定义，有xxxXxPxxFxxFxfxx)(lim)()(lim)(00充分小时于是，当)0(xxxxfxxXxP)()()(}{afaXP§4连续型随机变量的概率密度返回主目录连续型随机变量的一个重要特点：，对任意的实数是连续型随机变量，则设aX0aXP有密度函数的概率涵义：注意2概率密度。的“疏密”程度附近所分布的概率点概率的大小。它反映了内的落人区间的大小决定xxxxXxf],()(注意3xxfxxXxP)()(aXP0aXnaP1§4连续型随机变量的概率密度证明：所以有0aXP)(aF)1(limnaFn返回主目录)1()(naFaF说明⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．§4连续型随机变量的概率密度，的密度函数为若已知连续型随机变量xfX取值的概率为，也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则,GGXGdxxfGXP返回主目录例1设X是连续型随机变量，其密度函数为其它020242xxxcxf解：⑴．由密度函数的性质；求：⑴．常数c．⑵．1XP1dxxf§4连续型随机变量的概率密度返回主目录的分布函数．X).3(1)(1dxxfXP⑵．.)()()3(xdttfxF例1（续）dxxf1得20224dxxxc2032322xxcc3883c所以，11dxxfXP⑵．221dxxfdxxf2200dxxfdxxfdxxf§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例1（续）2122483dxxx213232283xx21§4连续型随机变量的概率密度返回主目录xdttfxFx时，当0)3(00xdtxdttfxFx时，当20xdttfdttf00xdxxx022483其它02024832xxxxf)3(4132xx例1（续）§4连续型随机变量的概率密度返回主目录12483202dxxxxdttfxFx时，当2xdttfdttfdttf22002121)3(410032xxxxxxF其它02024832xxxxf§4连续型随机变量的概率密度的分布函数为设连续型随机变量XxarctgxxF121的密度函数．试求X解：，则的密度函数为设xfXxFxfxx2111例2返回主目录例3的设随机变量X其它021210xxxxxf分布函数为：解：§4连续型随机变量的概率密度xxxxxxxxF21211221020022).(xfX的密度函数试求xFxf§4连续型随机变量的概率密度的分布函数为设连续型随机变量X的密度函数．系数试求XBA)2(;,)1(:)1(解：例4返回主目录000)(22xxBeAxFx由分布函数的性质,01BAA有解得,11BA0)0()00(,1)(FFF§4连续型随机变量的概率密度，则的密度函数为设xfX)2(xFxf例4（续）返回主目录0001)(22xxexFx00022xxxex例5某电子元件的寿命（单位：小时）是以10010010002xxxxf为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.§4连续型随机变量的概率密度返回主目录150XPAPp则150dxxf分析：设A={某元件在使用的前150小时内需要更换}例5（续）检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验．每次试验仅考虑A和两个结果A§4连续型随机变量的概率密度返回主目录B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过150小时}={5重Bernoulli试验中A恰好发生两次}例5某电子元件的寿命（单位：小时）是以10010010002xxxxf为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.§4连续型随机变量的概率密度返回主目录150XPAP则150dxxf1501002100dxx31解：设A={某元件在使用的前150小时内需要更换}例5（续）检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验．令：Y=“5个元件中使用寿命不超过150小时的元件数”则32253231}2{CYPBP则24380§4连续型随机变量的概率密度返回主目录B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过150小时})31,5(~BY二.一些常用的连续型随机变量§4连续型随机变量的概率密度1．均匀分布若随机变量的密度函数为其它01bxaabxf上的均匀分布．，服从区间则称随机变量baX记作X~U[a,b]返回主目录Xabx)(xfab1密度函数的验证则有：是其密度函数，上的均匀分布，，区间设xfbaX~；，有⑴．对任意的0xfxbbaadxxfdxxfdxxfdxxf⑵．badxab1．1确是密度函数．其它01bxaabxf由此可知，§4连续型随机变量的概率密度返回主目录均匀分布的概率背景：XXabxll0lccdxxflcXcP)(}{.1abldxablcc返回主目录重要的连续分布⑴．类似地，我们可以定义上的均匀分布；，区间ba上的均匀分布；，区间ba上的均匀分布．，区间baclc返回主目录重要的连续分布该子区间的位置无关．间的长度成正比，而与取值的概率与该子区上的任意一个子区间上，在区间变量上的均匀分布，则随机，服从区间如果随机变量baXbaX是等可能的．上取值，在区间量这时，可以认为随机变baX均匀分布的概率背景均匀分布的应用：数值计算中的舍入误差，某一时间间隔内汽车站上乘客到站的时间，等均认为服从均匀分布。均匀分布的分布函数的分布函数为则上的均匀分布，，服从区间若随机变量XbaXxbbxaabaxaxxF10abxF(x)01返回主目录重要的连续分布其它01bxaabxf例6设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求乘客候车时间不超过5分钟的概率．解：设乘客于7时X分到达此站．上的均匀分布．，服从区间则300X§4连续型随机变量的概率密度其密度函数为其它0300301xxf返回主目录例6（续）令：B={候车时间不超过5分钟}30251510XPXPBP则30251510301301dxdx31§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例7上的均匀分布，，服从区间设随机变量63试求方程02442xx有实根的概率．§4连续型随机变量的概率密度返回主目录分析：有实根方程02442xxA0244422{}1例7上的均匀分布，，服从区间设随机变量63试求方程02442xx有实根的概率．解：的密度函数为随机变量其它06391xxf§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例7（续）有实根方程设：02442xxA024442PAP则021P21或P62139191dxdx949232§4连续型随机变量的概率密度返回主目录2．指数分布如果随机变量X的密度函数为00011xxexfx的指数分布．参数为服从为常数，则称随机变量其中X0§4连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证是其密度函数，则有：的指数分布，参数为设xfX~；，有⑴．对任意的0xfx00dxxfdxxfdxxf⑵．011dxex．1由此可知，01xe确是一密度函数．00011xxexfx§4连续型随机变量的概率密度返回主目录指数分布的分布函数函数为的分布指数分布，则服从参数若随机变量XX01001xexxFx§4连续型随机变量的概率密度返回主目录)(1}{,0tFtXPtte指数分布的应用：指数分布常作为各种“寿命”分布的近似分布，如：“灯泡的寿命”，“动物的寿命”，“电话问题中的通话时间”，“随机服务系统中的服务时间”都常假定服从指数分布。注意:§4连续型随机变量的概率密度返回主目录指数分布的重要性质：设X服从指数分布，则,0,0ts}{tXP}{sXtsXP若把X解释为寿命，则上式表明：如果已知某人活了s年，则他至少再活t年的概率与年龄s无关，所以人们风趣地称指数分布的这一性质为“永远年轻”，又称“无记忆性”----即把过去的年龄忘记了。}{}{sXPtsXPte例8分钟之间的概率．钟到分话间，求你需等待好在你前面走进公用电．如果某人刚为参数的指数随机变量是以（单位：分钟）间设打一次电话所用的时201010X解：的密度函数为X00010110xxexfx§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例8（续）2010XPBP则令：B={等待时间为10~20分钟}201010101dxex201010xe21ee2325.0§4连续型随机变量的概率密度返回主目录3．正态分布的密度函数为如果连续型随机变量Xxexfx22221，为参数，其中0正态分布．记作的，服从，参数为则称随机变量2