4.3利用导数研究函数的极值与最值

3.已知f(x)=ex-ax-1.(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在a,使f(x)在(-∞，0］上单调递减，在［0，+∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.题型利用导数求单调函数中参数的取值范围解：f′(x)=ex-a.(1)因为f(x)在R内单调递增，所以f′(x)≥0在R上恒成立.所以ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.所以a≤(ex)min.又因为ex＞0，所以a≤0.故a的取值范围为(-∞,0］.(2)解法1：由题意知ex-a≤0在(-∞，0］上恒成立,所以a≥ex在(-∞，0］上恒成立.因为g(x)=ex在(-∞，0］上为增函数,所以当x=0时，ex取得最大值1.所以a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞)上恒成立，即a≤ex在［0，+∞)上恒成立，所以a≤1.所以a=1.解法2：由题意知，x=0为f(x)的极小值点，所以f′(0)=0,即e0-a=0,所以a=1.点评：由可导函数在某指定区间上是单调的，可得此函数在区间上的导函数的符号是确定的，再由此得到相应的不等式有解(或恒成立)，可求得参数的取值范围.第讲1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则f(x)为①;如果f′(x)＜0，则f(x)为②.如果在某个区间内恒有③，则f(x)为常数.2.设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有④，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0);增函数减函数f′(x)=0f(x)＜f(x0)如果对x0附近的所有的点，都有⑤，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，极大值与极小值统称为⑥.3.当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是⑦；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是⑧.f(x)＞f(x0)极值极大值极小值4.设函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在［a，b］上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的⑨；(2)将f(x)的各极值与⑩比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.f(a)、f(b)极值基础自测1．(2012年福州模拟)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a－3B．a－3C．a－D．a－1313解析：易求得f′(x)＝3＋aeax，若函数在x∈R上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当有f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a0，此时x＝，由x0我们马上就能得到参数a的范围为a－3.答案：B2．(2011年广州一模）函数在区间（1，+∞）上（）A．是减函数B．是增函数C．有极小值D．有极大值lnxyxC3.(2010年中山质检)函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极小值点的个数是________．14.若函数在x=1处取极值，则a=.解：由解得a=3.321xafxx2221.1xxxafxx3104af，题型1利用导数研究函数的极值与最值1.求函数y=2x3-9x2+12x-3的单调区间与极值.解：函数的定义域为R.y′=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).令y′=0，得x1=1，x2=2.x1，x2将定义域分成三个区间(-∞，1)，(1，2)，(2，+∞)，可列表讨论如下：所以函数y=2x3-9x2+12x-3的单调增区间为(-∞，1)，(2，+∞)；单调减区间为(1，2).极大值是2，极小值是1.x(-∞，1)1(1，2)2(2，+∞)y′+0-0+y极大值极小值点评：利用导数求函数的极值的步骤是：①求导函数；②解方程f′(x)=0；③判断f′(x)在f′(x)=0的根x0左右的符号，若左负右正，则此点为极小值点；若左正右负，则此点为极大值点；若左右同号，则非极值点.若是求函数在闭区间上的最值，则先求极值，然后与两端点值进行比较可得最值.求函数f(x)=x3-2x2+1在区间［-1，2］上的最大值与最小值.解：f′(x)=3x2-4x=3x(x-).令f′(x)=0，则x=0或x=.当x∈［-1，0)时，f′(x)＞0;4343当x∈(0，)时，f′(x)＜0;当x∈(，2］时，f′(x)＞0.所以［f(x)］极小值=f()=-，［f(x)］极大值=f(0)=1.又f(-1)=-2，f(2)=1，所以［f(x)］max=1，［f(x)］min=-2.434343527题型2利用导数转化极值与最值条件2.设a为实常数，已知函数f(x)=(x2+ax+a)·e-x有极小值0，求a的值.解：f′(x)=(2x+a)e-x+(x2+ax+a)·(-e-x)=-e-x［x2+(a-2)x］.令f′(x)=0，则x2+(a-2)x=0，所以x=0或x=2-a.(1)当a=2时，f′(x)=-e-x·x2≤0，所以f(x)无极值.(2)当a＜2时，在(-∞，0)上，f′(x)＜0;在(0，2-a)上，f′(x)＞0;在(2-a，+∞)上，f′(x)＜0.所以［f(x)］极小值=f(0)=a.由已知，a=0.(3)当a＞2时，在(-∞，2-a)上，f′(x)＜0;在(2-a，0)上，f′(x)＞0;在(0，+∞)上，f′(x)＜0.所以［f(x)］极小值=f(2-a).由已知，f(2-a)=0.所以(2-a)2+a(2-a)+a=0，解得a=4.综上分析，a=0或a=4.点评：函数有极值的必要条件是：f′(x)=0，由此可转化得到相应的等式或方程，再进一步转化为所需要的条件.需要注意的是在此条件下得到的结论要检验一下是否为极值.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0.若x=时，y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值；(2)求y=f(x)在［-3，1］上的最大值和最小值.解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b.当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0;①当x=时，y=f(x)有极值，则f′()=0,即4a+3b+4=0.②232323由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,所以f(1)=3×1+1=4.所以1+a+b+c=4,所以c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,所以f′(x)=3x2+4x-4.令f′(x)=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y′的变化情况如下表：23所以y=f(x)在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.x-3(-3,-2)-2(-2，23)(，1)1y′+0-0+y8↗13↘↗42323952795271.函数的极值是一个局部性概念，它反映出函数在某个局部的最大值和最小值情况.一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，且极大值与极小值之间没有必然的大小关系，即某个极大值可能小于另一个极小值.2.若函数f(x)在区间［a，b］内连续，且有有限个极值点，则f(x)在这个区间内的极大值点与极小值点是交替出现的(如正弦曲线).3.可导函数在极值点的导数一定为0，但导数为0的点(称为驻点)不一定是极值点(例如，函数f(x)=x3在x=0处的导数是0，但它不是极值点)，不可导的点可能是极值点(例如，函数f(x)=|x|在x=0处不可导，但它是极小值点)，因此，函数的极值点只能在导数为0的点和不可导的点中产生.4.函数的最值是一个整体性概念，它反映函数在整个区域(或定义域)内的最大值和最小值情况，函数f(x)有极值未必有最值，反之亦然.极值与最值是两个不同的概念.5.若f(x)在闭区间［a，b］上连续且单调，则f(x)的最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得；若连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该点也是一个最值点.6.求可导函数在定义域内的极值的一般步骤是：(1)求f′(x)，令f′(x)=0，求此方程在定义域内的所有实根.(2)检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右取值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.7.求可导函数在闭区间上的最值，只要在求极值的基础上，再与区间端点的函数值做出比较就能得出结论.在实际问题中，有时会遇到函数在开区间或无穷区间内只有一个驻点的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么它就是最大(小)值点.