数学培优竞赛新方法(九年级)-第15讲-圆的基本性质

第15讲圆的基本性质知识纵横到顶点等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印。圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦，弧，弦心距，圆心角，圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形。用圆的基本性质解题应注意：1.熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明2.了解弧的特性及中介作用3.善于促成同圆或等圆不同名称等量关系的转化例题求解【例1】在半径为1的圆O中，弦ACAB,的长分别为3和2，则BAC度数为_________（黑龙江省中考题）思路点拨作出辅助线，解直角三角形，注意ACAB,有不同的位置关系。【例2】P是圆O内一点，圆O的半径为15，P点到圆心O的距离为9，通过P点，长度是整数的弦的条数是（）（江苏省竞赛题）5A7B10C12D思路点拨过点P最长的弦为圆O的直径，最短的弦与OP垂直（为什么），可求得过点P点的弦长范围。【例3】如图，已知点DCBA,,,顺次在圆O上，弧AB弧BD,ACBM于M，求证CMDCAM（江苏省竞赛题）思路点拨用截长（截AM）或补短（延长DC）证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它。【例4】如图，o的直径为AB，过半径OA的中点G作弦ABCE，在弧AB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M。（1）求COA和FDM的度数；（2）求证：FDM~COM；（3）如图，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在弧EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否有FDM~COM?证明你的结论。（苏州市中考题）思路点拨（1）在COGRt中，利用OCOAOG2121；（2）证明FDMCOM，FMDCMO；（3）利用图的启示思考。【例5】如图，半径为2的o中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连接OP，若1OP，求22CDAB的值。（黑龙江省竞赛题）【例6】（1）如图，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，o过点A、D、E三点，求o的半径。（2）如图，若多边形ABDEC是由等腰ABC和矩形BDEC组成，2BDACAB，o过点A、D、E三点，问o的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）分析与解对于（1），给出不同解法；对于（2），o的半径不改变，解法类似（1）。学习训练学力训练基础夯实1、如图，点A、B是o上两点，10AB，点P是o上的动点（P与A、B不重合），连接AP、BP，过点O分别作APOE于E，PBOF于F，则EF_______.(兰州市中考题)2、如图，o的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且CDAB，已知3,1EDCE，则o的半径为_______。（2011年安徽省中考题）3、如图，ABC的三个顶点的坐标分别为)2,4(),2,2(),3,1(CBA，则ABC外接圆的半径长度为_______。（济南市中考题）4、如图，将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_______cm。A、2B、3C、32D、52（连云港市中考题）5、如图，梯形ABCD中，CDAB//，CDAB，,4,2cmCDcmAB以BC上一点为圆心的圆经过A、D两点，且90AOD，则圆心O到弦AD的距离是（）cm。A、54B、9C、54D、26(南通市中考题)6、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为162cm，则该半圆的半径为（）cm。（芜湖市中考题）7、如图，已知o的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F。若,ADCF,2AB求CD的长。（广东省中考题）8、如图，在o中，已知AB是直径，P为AB上一点，弦MN过P点，.45NPB(1)若,6,2BPAP求MN的长；(2)当P点在AB上运动时（保持NPB的度数不变），试问：222ABPNPM的值是否改变？若不变，请求其值；若改变，请求出其值得取值范围。POMNBA9、如图，在ABCRt中，,12,5,90CBACACBADSHIABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。（1）求证：AEAC；（2）求ACD外接圆的半径。（陕西省中考题）能力拓展10.圆O的直径为cm5，弦∥AB弦CD，cmAB3，cmCD4，则梯形ABCD的面积为_________________（黄冈市竞赛题）11.如图，半径为5的圆P与y轴交于点),10,0(),4,0(NM函数)0(xxky的图象过点P，则k________________（武汉市中考题）12.如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是.（2011年日照市中考题）13.如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）2.A25.B45.C1675.D（天津市选拔赛试题）14.P是圆O内一点，圆O的半径为5，P点到圆心O的距离为4，通过P点、长度是整数的弦的条数是（）5.A6.B7.C8.D(黄冈市竞赛题)15.如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作OPPC，PC交圆O于C，若8AP，2PB，则PC的长为（）4.A22.B5.C.D无法确定（黑龙江省竞赛题）16.如图，正方形ABCD的顶点A、D和正方形JKLM的顶点K、L在一个以5为半径的圆O上，点J、M在线段BC上，若正方形ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长（上海市竞赛题）17.如图，已知弦CD垂直于圆O的直径AB于L，弦AE平分半径OC于H，求证：弦DE平分线BC于M.（第21届全俄九年级奥林匹克试题）综合创新18.（1）如图①，已知PBPA、为圆O的弦，C是劣弧AB的中点，直线PACD于点E，求证：PBPEAE（1）如图②，已知PBPA、为圆O的弦，C是优弧AB的中点，直线PACD于点E，问：PEAE、于PB之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论19.如图，在ABC中，D为AC边上一点，且CBDCAD，过D作AC的垂线交ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N，求证：MN为ABC外接圆的直径（荆门市竞赛题）