数学培优竞赛新方法(九年级)-第5讲-一元二次方程的整数解

第五讲一元二次方程的整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k)，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x的方程的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．（全国初中数学联赛题）思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a、b都是整数，方程220080axbx的相异两根都是质数，则3ab的值为()（太原市竞赛题）A．100B．400C．700D．1000思路点拨由韦达定理a、b的关系式，结合整数性质求出a、b、c的值．【例3】试确定一切有理数r，使得关于x的方程01)2(2rxrrx有根且只有整数根．（全国初中数学联赛题）思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0r时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当m为整数时，关于x的方程01)12()12(2xmxm是否有有理根?如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．（第十七届江苏省竞赛题）思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(nmmmmm(n为整数)解不定方程，讨论m的存在性．注：一元二次方程02cbxax(a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=acb42为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】求使方程20xpqxpq有整数根的所有正整数p和q。（俄罗斯竞赛题）学力训练1．已知关于x的方程2(1)210axxa的根都是整数，那么符合条件的整数a有个。2．方程219970xpx恰有两个正整数根1x，2x，则12(1)(1)pxx的值是。（北京市竞赛题）3．关于x的方程2244100xmxmm（m为正整数）有整数根时，则m的值可以取个。（第18届江苏省竞赛题）4．若整数m使方程220060xmxm的根为非零整数，则这样的整数m的个数为个。（第20届江苏省竞赛题）5．设rn为整数，且4m40，方程08144)32(222mmxmx有两个整数根，求m的值及方程的根．（山西省竞赛题）6．已知k整数，且方程210xkxk有两个不相等的正整数根，求k的值。（荆州市竞赛题）7．求使关于x的方程01)1(2kxkkx的根都是整数的k值．（江苏省竞赛题）能力拓展8．已知方程2264320xxnn的根都是整数，求整数n的值。（全国初中数学联赛题）9．设关于x的二次方程4)462()86(2222kxkkxkk的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k的值．（全国初中数学联赛题）10．边长为整数的直角三角形，若其两直角边是方程2(2)40xkxk的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长。（江西省竞赛题）11．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程21()02xabxab是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。（全国初中数学竞赛题）综合创新12．已知p，q为整数，且是关于x的方程221115()16094pxxpq的两个根，求p、q的值。（全国初中数学联赛题）13．是否存在质数p、q使得关于x的一元二次方程20pxqxp有有理数根？（全国初中数学联赛题）