数学培优竞赛新方法(九年级)-第2讲-判别式--二次方程的根的检测器

1第二讲判别式——二次方程的根的检测器我没有试图直接解决某一物理问题，而只是试图寻求某种优美的数学------狄拉克知识纵横在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等．我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题．例题求解【例1】(1)关于x的方程kxkkx8)18(22有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。（广东省竞赛题）（2）关于x的方程012223aaxaxx只有一个实数根，则a的取值范围是。（四川省竞赛题）思路点拨对于（1），利用判别式建立关于k的不等式组，注意0k的隐含制约；对于（2），通过变更主元，将高次方程转化为一元二次方程根的情形讨论。【例2】若实数a、b满足02212baba，则a的取值范围是（）A、2aB、2a或4aC、4aD、42a（《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）思路点拨原等式可整理成关于b的一元二次方程。【例3】已知关于x的方程02)2(2kxkx，(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形△ABC的一边长a＝1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．（荆门市中考题）思路点拨对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分cb或b、c中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b、c的值．2【例4】设方程42axx，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．（重庆市竞赛题）思路点拨去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零．【例5】已知0))((4)(2zyyxzx，求证：zxy2（无锡市竞赛题）分析本例可按以下不同思路探索：（1）从变形条件等式切入；（2）条件等式在形式上类似“acb42”,从构造一元二次方程入手。图形存在性探究【例6】求证：对任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使矩形B与矩形A的周长和面积比等于)1(kk（福建省竞赛题）3学力训练基础夯实1、关于x的方程068)6(2xxa有实数根，则整数a的最大值是。（芜湖市中考题）2、关于x的一元二次方程)0(02acbxax，给出以下说法：①若△042acb，则方程02abxcx一定有两个不相等的实根。②若0x是方程的一个根，则△20)2(bax。③若cab322，则方程一定有两个不相等的实数根。④若cab32，则方程必有两个不相等的实数根。其中，正确的说法的序号是。3、等腰△ABC中，AC,8、ABBC的长是关于x的方程0102mxx的两根，则m。（宁波市中考题）4、若关于x的一元二次方程0132xkx有实数根，则k的取值范围是（）A、49kB、0k49且kC、49kD、0k49且k（扬州市中考题）5、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90，那么关于x的方程0)1(2)1(22xbcxxa的根的情况为（）。A、有两个相等的实根B、没有实数根C、有两个不相等的实数根D、无法确定（河南省中考题）6、关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（）A．k为任何实数，方程都没有实数根4B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种（2011年潍坊市中考题）7、在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．（江津市中考题）8、已知△ABC的三边长为a、b、c，判断方程0)(222222bxbacxa有无实根。9、已知：关于x的一元二次方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y=x2-2x1，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m？（北京市中考题）10、方程033322yxyxyx的实数解为。（安徽省竞赛题）11、已知关于x的方程02)1(223aaxxax有且只有一个实根，则实数a的取值范围是。12、若方程axx52有且只有相异二实根，则a的取值范围是．13．如果关于x的方程05)2(22mxmmx没有实数根，那么关于x的方程0)2(2)5(2mxmxm的实根的个数()A．2B．1C．0D．不能确定14、设三个方程012)1(,0)12(,0324422222mmxxmmxmxmmmxx中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是（）。5A、4123mB、23m或41mC、23m或21mD、2141m（江苏省竞赛题）15、若关于x的方程010722aaxx没有实数根，则必有实根的方程是（）。A、02322aaxxB、06522aaxxC、0211022aaxxD、03222aaxx（江西省竞赛题）16、已知caba,0，判断关于x的方程02cbxax的根的情况。（河南省竞赛题）17、设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程,022cbxax022acxbx，022baxcx不可能都有两个相等的实数根。18、关于x的方程01)1(2xkkx有有理根，求整数k的值。（山东省竞赛题）综合创新19、已知正整数m满足3052mm是完全平方数，求m的值。（武汉市竞赛题）20、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C．（1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否点P，使AP⊥PD？如果存在求线段BP的长；如果不存在，请说明理由；（2）设AB=a，DC=b，AD=c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．（南京市中考题）