☆☆☆☆组合与组合数公式

组合与组合数公式问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？236A甲、乙；甲、丙；乙、丙有顺序无顺序一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合定义:排列定义:一般地说，从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.思考:排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序合成一组”．排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?什么是两个相同的排列？什么是两个相同的组合？相同排列：元素相同且顺序相同.相同组合：元素相同判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc如:已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.abcdbcdcdab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)6个练习:中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过单循环决出冠亚军．（1）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有冠亚军的可能情况。（1）中国—美国中国—古巴中国—俄罗斯美国—古巴美国—俄罗斯古巴—俄罗斯（2）冠军中中中美美美古古古俄俄俄亚军美古俄中古俄中美俄中美古组合数:从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示mnC323C34C如:思考:如何计算:624C写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。aabc，abd，acd，bcd.bcddbccd写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有排列.cdbdbccdacadbdadabbcacabbcdacdabdabcbacdabcbaccabdababdbadcaddacacbbcacbadbaacdbcdcbddbcadbbdacdadcaadcbdccdbdcb所有的排列为：组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb可分两步考虑：求P34PPC33343434A求可分两步考虑：344C第一步，（）个；336A第二步，（）个；333.434CAA根据分步计数原理，334343ACA从而组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm从n个不同元中取出m个元素的排列数mmmnmnCAA!!()!mnnCmnm例1计算：⑴47C⑵710C．32(3),nnnCA已知求．例2求证：11mmnnmCCnm例6．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？1111711136136CC(2)解：(1)111712376C例7．（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？21090A(2)解：(1)21045C例8．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件.(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？122989506CC(2)解：(1)3100161700C(3)12212982989604CCCC法一：33100989604CC法二：说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；组合数的两个性质.1CCmnnmn:定理,!!:）（！证明mnmnCmn!][!)(）（！mnnmnnCmnn!)(!mnmn！.CCmnnmn写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。aabc，abd，acd，bcd.bcddbccdabcabdacdbcddcba434C414Cabcabdacdbcd434C含元素a的组合数:323C不含元素a的组合数:133CCCC233433.211CCCmnmnmn:定理CCmnmn1:证明)]!1([)!1(!)!(!!mnmnmnmn)!1(!!)1(!mnmmnmnn)!1(!!)1(mnmnmmn]!)1[(!)!1(mnmn.1Cmn例9计算：;198200)1(C;299399)2(CC.2283938)3(CCC)1990012199200(2200C16170012398991003100C563828283838)(2CCCCC;11111)1(CCCCmnmnmnmn.21211)2(CCCCmnmnmnmn例10求证:.111111)1(CCCCCCmnmnmnmnmnmn证明:.)()(2121111111)2(CCCCCCCCCCmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn例11平面内有12个点，任何3点不在同一直线上,以每3点为顶点画一个三角形,一共可画多少个三角形?220123101112312C答:一共可画220个三角形.思考交流1.从9名学生中选出3人做值日,有多少种不同的选法?2.有5本不同的书,某人要从中借2本,有多少种不同的借法?)84123789(39C)101245(25C元素相同问题隔板策略应用背景：相同元素的名额分配问题不定方程的正整数解问题隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一个元素相同问题隔板策略例.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC回目录例高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?解此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的隔板,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种.711C711C结论转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.回目录练习（1）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有（）种。6984C（2）不定方程的正整数解共有（）组123710xxxx6984C回目录平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。222642CCC222642CCC33A222642CCC33A平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。nnA回目录1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？2.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）544138422CCCA3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______2226422290ACCA回目录分清排列、组合、等分的算法区别例(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少种分法?(3)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,每份2件,有多少种分法?解：（1）123109712600CCC（2）12331097375600CCCA(3)336222110642()3150ACCCC)/(332628210ACCC回目录练习(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?解:(1)(2)641111062123150CCCC62221064218900CCCC)(2628210CCC回目录小结：排列与组合的区别在于元素是否有序;m等分的组合问题是非等分情况的;而元素相同时又要另行考虑.回目录八.排列组合混合问题先选后排策略例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.25C44A根据分步计数原理装球的方法共有_____25C44A解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?回目录练习题一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________种192回目录3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?先选后排问题的处理方法解法一：先组队后分校（先分堆后分配）540332426PCC回目录解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.5401