一元一次方程难点

一元一次方程难点主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。详细说明→事实上，方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。所以，其实一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。初一年级涉及的主要有以下几类：（1）行程问题；（2）工程问题；（3）溶液配比问题；（4）销售问题；（5）数字问题；（6）比例问题；（7）设中间变量的问题。不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。行程问题行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。等量关系为：①路程=速度×时间；②速度=路程/时间；③时间=路程/速度特殊情况是航行问题，其是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化。①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。典型例题例1甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，两人都匀速前进。已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。求AB两地路程。解析：本题可以简化为：A、B两地两人匀速相向而行，2小时候相距36千米，4小时候后仍相距36千米，求A、B距离。而两人各自的速度是多少，是不是相等这些均没有交代。为了有助于我们找到等量关系，我们可以借助草图。ACDB甲→←乙甲从A出发去B，乙从B出发去A，相向而行，2小时后假设甲到C，乙到D，此时CD之间的距离为36千米。又过了两小时后甲到D，乙到C，此时CD之间的距离仍是36千米。我们根本不知道甲乙的速度，但是我们知道一个等量关系就是甲乙的速度始终不变。那么设A、B之间的距离为x千米，那么2小时后，甲乙一共走的路程是（x-36）千米，用时2小时，那么甲乙的速度和是：4小时候后，甲乙仍相距36千米，此时他们共走的路程是（x+36）千米，用时4小时，那么甲乙的速度和是：所以可以列方程为：=解得：x=108千米。例2：一列火车从甲地开往乙地，每小时行90千米，行到一半时耽误了12分钟，当着列火车每小时加快10千米后，恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？此题的等量关系是：列车改变速度以后所用的总时间=原计划的时间。则可设甲乙之间距离为x千米，那么原计划的时间为（x/90）小时。实际所用时间分三段，第一段用原速度90走了一半的路程所用时间（/90）小时，第二段是耽误停留的12分钟（转换成小时为（12/60）小时），第三段为加速后走另一半路程所用的时间（/9010）小时，所以可以列方程为：90=（/90）+10+/9010解得：x=360千米。例3：某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？解析：这一问题实际上分为两个过程：①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。在第一个过程追及问题中，等量关系是：此人行进的路程-队伍行进的路程=队伍长度。设此段此人行进的时间为x，则：3x-900x=450解得x=300s。在第二个过程相遇问题中，等量关系是：此人行进的路程+队伍行进的路程=队伍长度。设此段此人行进的时间为y，则：3y+900y=450解得：y=100s。所以往返共用时间为x+y=400s。例4：一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2km。求甲、乙两地之间的距离。解析：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度－水流速度。此题的等量关系是：静水速度＝顺水速度－水流速度＝逆水速度+水流速度。设两地之间距离为x千米，则-2=+2解得x=96千米。工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量=工作效率×工作时间；工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1/t。常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。②如果以时间作相等关系，则完成同一工作的时间差=多用的时间。在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。典型例题例1：加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？解析：将全部工作看做整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为1/20，乙的工作效率为1/10。问题是乙需要单独工作几天后甲再工作正好完成任务，可知整个工程分成了两部分，第一部分由乙单独工作，第二部分由甲单独工作，两部分的和是整个工作。所以可知等量关系为：乙工作的工程量+甲工作的工程量=1。可设乙加工x天，那么因为要12天内完成任务，则甲工作的天数为（12-x）天。因为乙的效率为1/10，则乙的工程量为x/10；甲的工作效率为1/20，则甲的工程量为11，所以可列方程为：10+11=1解得：x=8天。例2：收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。收割了2/3后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。因此比预计时间提前1小时完工。求这块麦地有多少亩？解析：本题的等量关系为：老式收割与新式收割混合的作业时间-单独老式收割的作业时间=1。可设麦地有x亩，那么在改用新式农具之前的工作效率是4亩/小时，按照此效率收割了亩，此作业时间为/=。改用新式工具后，工作效率为1.5×4＝6亩/小时，工作任务为亩，此作业时间为/=1，所以老式收割与新式收割混合的作业时间为：+1，而单独老式收割的作业时间为，所以根据等量关系可列方程为：－（+1）＝1解得x=36亩。例3：一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注满水池？解析：可知三个水管的工作效率如下：甲水管的注水效率为1/10；乙水管的注水效率为1/6；丙水管的放水效率为1/15。那么当三个水管同时开时，可知其等量关系为：一定时间内甲乙的注水工作量-丙的排水工作量=工程整体1。则可设注水时间为x小时，则甲的注水工作量为x/10，乙的注水工作量为x/6，丙的排水工作量为x/15，则可列方程为：10+－1）＝1解得x=5小时。溶液配比问题溶液配比问题中有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。其关系式为：溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；浓度=溶质溶液×100%＝溶质溶质溶剂×100%；纯度（含量）=纯净物混合物×100%＝纯净物纯净物杂质×100%。由①②可得到：溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）。✔例1：把1000克浓度为80％的酒精配成浓度为60％的酒精，应加入浓度为20％的酒精多少克？解析：等量关系是：溶质质量相等。配比前的溶质质量分两部分，第一部分为80%浓度的酒精的溶质质量，第二部分为浓度为20%浓度的酒精的溶质质量。配比后的溶质质量为60%浓度的酒精的溶质质量。则设加入溶度为20%的酒精x克，可以列式为：1000·80%+X·20%=（1000+X）·60%计算得：x=500克。✔例2：现有浓度为10%及浓度为20%的两种氯化钠溶液，问各取多少可配制成浓度为14%的溶液100克？解析：本题跟上题等量关系一样。可设需10%浓度的氯化钠溶液x克，那么需20%的氯化钠溶液（100-x）克，可列方程为：X·10%+(100-X)·20%=100·14%解得：x=60克，则需要20%浓度的100-60=40克。销售问题与生活、生产实际相关的销售类应用题，是近年中考数学创新题中的一个突出类型。销售类问题主要体现为三大类：①销售利润问题、②优惠（促销）问题、③存贷问题。这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。（1）销售利润问题。利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。基本关系式有：①利润＝销售价（收入）-成本（进价）；②成本（进价）＝销售价（收入）-利润；③利润率＝利润成本（进价）；④利润＝成本（进价）×利润率。在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。（2）优惠（促销）问题。日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费）方式可以得到不同的优惠。这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起”。并以求得的数值为基准，取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验，预测其变化趋势。（3）存贷问题。存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。其关系式有：①利息＝本金×利率×期数；②利息税＝利息×税率；③本息和（本利）＝本金+利息-利息税✔例1：某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。如果商店销售这种商品时，要获利12％，那么这种商品的销售价应定多少？解析：设销售价每件x元，销售收入则为（10+40）x元，而成本（进价）为（5×10+40×12.5）元，利润率为12％，则利润为（5×10+40×12.5）×12％。则可列方程为：（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％解得x=14.56元。✔例2：某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。问这种商品的定价是多少？解析：设定价为x元，七五折售价为75％x元，因为赔25元则利润为－25元，进价则为75％x－（－25）=75％x+25；九折销售售价为90％x，利润为20元，进价为90％x－20。根据等量关系进价一定，可列方程为：75％x+25=90％x－20解得x=300元。✔例3：小明假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。整存整取，年利息为2.16％。取款时扣除20％利息税。小明共得到本利504.32元。问半年前小明共存入多少元？解析：本题中要求的未知数是本金，可设存入的本金为x元，由年利率为2.16％，期数为0.5年，则利息为0.5×2.16％x，利息税为20％×0.5×2.16％x，则可列方程为：x+0.5×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32解得x=500元。✔例4：某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店8折购物，什么情况下买卡购物合算？解析：购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。设购物x元买卡与不买卡效果一样，买卡花费金额为（200+80％x）元，不买卡花费金额为x元，故有：200+80％x=x解得：x=1000元。当x＞1000时，如x=2000买卡消费的花费为：200+80％×2000=1800（元）。不买卡花费大于1000元时，买卡购物合算。当x＜1000时，如x=800买卡消费的花费为：200+80％×800=840（元）。不买卡花费小于1000元时，买卡不合算。数字问题一元一次方