2016考研数学正定矩阵的判别方法分析

12016考研数学：正定矩阵的判别方法分析来源：文都教育在考研数学中，线性代数中的二次型是一个常考点，而正定二次型是二次型中应用得比较多的一种特殊二次型，有关它的性质和各种常用判别方法大家应该理解和掌握。正定二次型的矩阵称之为正定矩阵，因此，正定二次型的判别方法也就是正定矩阵的判别方法，为了帮助各位考生复习好这部分知识，下面文都网校蔡老师对正定矩阵的判别方法做些分析总结，供同学们复习时参考。一、正定矩阵的定义对实二次型()TfxxAx（TAA），若对任意0x均有()0fx，则称二次型()TfxxAx为正定二次型，并称实对称阵A为正定矩阵（若()0fx，则称负定二次型）。二、正定矩阵的判别方法1、基本判别方法：1）根据定义判别：若对任意0x均有()0fx，则f是正定二次型；2）根据标准型判别：二次型f正定标准型的系数全为正（正惯性指数pn）；3）根据特征值判别：二次型f正定A的特征值全为正；4）根据主子式判别：二次型f正定A的主子式全为正；注：1）设()ijnnAa，则1111kkkkkaaAaa称为A的k阶主子式；2）二次型f负定标准型的系数全为负A的特征值全为负(1)0kkA（1kn）；22、扩展判别方法：二次型f正定存在可逆阵C，使TACC（即A合同于单位矩阵）。证明：1）A正定特征值都大于0存在正交阵Q，使12,TnAQQ（0i），令12nCQ，则TACC；2）若TACC，则TTTfXAXXCCX，令YCX，则22212TnfYYyyy，因为C可逆，所以当0X时，0YCX0f，故A正定。注：若二次型TfXAX正定，则0,0(1,2,,)iiAain，1*,,kAAA都正定。三、典型实例例1.当取何值时，222()(2)22fxxyzxyxzyz是正定二次型。解：二次型对应的矩阵为1111122112A，主子式211510,10,0124A，解之得52，这时()fx是正定二次型。例2.设有n元实二次型3222212112223111(,,,)()()()()nnnnnnfxxxxaxxaxxaxxax，其中(1,2,,)iain为实数，试问：当12,,,naaa满足何种条件时，二次型12(,,,)nfxxx为正定二次型。注：这是2000年考研数学三第（十）题。解：二次型12(,,,)nfxxx为正定二次型12(,,,)0nfxxx，且等号当仅当120nxxx时才成立。显然，12(,,,)0nfxxx，且1122231211100(,,,)000nnnnnnxaxxaxfxxxxaxxax，方程组有且仅有零解的充分必要条件是其系数行列式121121100001001(1)000010001nnnnaaAaaaaa，因此，当且仅当1121(1)0nnaaa时，二次型12(,,,)nfxxx为正定二次型。在考研数学大纲中，要求考生理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法，因此大家要按照考纲的要求，掌握好蔡老师在上面给大家归纳总结的各种判别方法，并通过适量的练习做到熟练灵活运用。在结束时给大家补充说明一点，正定二次型在几何意义上与椭圆和椭球是密切相关的，但当变量个数大于3时则没有相应的几何意义。最后预祝各位考生在2016年考研中金榜题名。