2.4-正交多项式和最佳平方逼近

第二章插值与拟合总结2.4.3连续函数的最佳平方逼近2.4.2连续区间上正交多项式2.4.1离散点集上的正交多项式2.4正交多项式和最佳平方逼近第二章插值与拟合2.4正交多项式和最佳平方逼近正交多项式是数值计算中的重要工具，这里只介绍正交多项式的基本概念、某些性质和构造方法。离散情形的正交多项式用于下节的数据拟合，连续情形的正交多项式用于生成最佳平方逼近多项式和下章的高斯型求积公式的构造。它们在数值分析的其他领域中也有不少应用。第二章插值与拟合定义2.9设有点集{xi}i=0,1,…,m，函数f(x)和g(x)在离散意义下的内积定义为(2.4.1)其中i0为给定的权数。在离散意义下，函数f(x)的2-范数定义为(2.4.2)有了内积，就可以定义正交性。若函数f(x)和g(x)的内积(f,g)=0，则称两者正交。0(,)()()miiiifgfxgx2||||(,)fff2.4.1离散点集上的正交多项式第二章插值与拟合若多项式组{k(x)}k=0,…n在离散意义下的内积满足0,(,)0,ijiijaij(2.4.3)则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集{xi}i=0,1,…,m上的带权{i}i=0,…m的正交多项式序列.下面给出离散点上正交多项式的构造方法.第二章插值与拟合给定点集{xi}i=0,1,…,m和权数{i}i=0,…m，并且点集{xi}i=0,1,…,m中至少有n+1个互异，则由下列三项递推公式01011()1,(),()()()(),1,2,1kkkkkxxxxxxxknPaPabPPP（2.4.4）给出的多项式序列是正交多项式序列，其中0()()nknmkxP11(,)(,),.(,)(,)kkkkkkkkkkxPPPPabPPPP（2.4.5）三项递推公式（2.4.4）是构造正交多项式的简单公式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一步讨论。第二章插值与拟合例2.16已知点集{xi}i=0,1,…,4={0,0.25,0.5,0.75,1}和权数{i}i=0,…4={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于该点集的正交多项式)(),(),(210xxxPPP解先令P0(x)=1，由此得420000(,)()5iiiPPPx420000(,)()2.5iiiixPPxPx00000(,)0.5(,)xPPaPP10()0.5Pxxax第二章插值与拟合由此得421110(,)()0.3125iiiixPPxPx421110(,)()0.625iiiPPPx从而有1111111100221110(,)(,)0.5,0.125,(,)(,)()()()()(0.5)0.125xPPPPabPPPPPxxaPxbPxx第二章插值与拟合2.4.2连续区间上正交多项式连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多项式概念相似，只要将内积的定义作相应的改变。定义2.10函数f(x)和g(x)在连续意义下的内积定义为(,)()()(),,[,]bafgxfxgxdxfgCab（2.4.6）其中的(x)0为给定的权函数。按连续意义下的内积，若多项式组{k(x)}k=0,…n满足条件(2.4.3),则称它为在区间[a,b]上的带权(x)的正交多项式序列。第二章插值与拟合；，当且，当）（01,,0coscos)cos,(cos1jijijijxdxixjxix；当且当）（0,1,,,0)sin,(sin2jijijijxixnjijxix,,2,1,,0)cos,(sin3）（；），（）（2114dx。niixix,,1,0)cos,1(,0)sin,1(事实上，],[在例2.17三角函数组nxnxxxsin,cos,,sin,cos,1上关于权函数1的正交组。第二章插值与拟合正交多项式的三项递推公式:0{()}[]()()nkkixabxx设为，具有权函数的正交多项式组，是首项系数为1的i次多项式，则满足递推公式:)}({xk11)(xx)1,,2,1(),()()()(1111nkxxxxkkkkk),(),(),(),(1111kkkkkkkkkkx，其中1)(0x为首项系数（)(xk次多项式）的为k1是唯一的。0[,](){()},nkkabxx且于带权函数为正交多项式组完全类似于离散情况下的正交多项式的构造方法,连续区间上的正交多项式序列同样可以由递推公式(2.4.4)和(2.4.5)构造,其中内积按(2.4.6)式定义.第二章插值与拟合下面给出几种常用的正交多项式.(1)勒让德（Legendre）多项式.0{()}niiPx正交多项式记为，由三项递推公式得,,2,1),()()12()(,)(,1)(1110)1(kxnxnxxxxPxPPnPPnnn(2.4.7)给出.它们是在区间[-1,1]上的带权(x)=1的正交多项式.第二章插值与拟合).157063(81)(),33035(81)(),35(21)(),13(21)(3552443322xxxxxxxxPxxPxPxP它们的根都是在开区间(-1,1)上的单根,并且与原点对称.前几个Legendre多项式如下:第二章插值与拟合(2)第一类Chebyshev多项式.第一类Chebyshev多项式可由三项递推公式,,2,1),()(2)(,)(,1)(1110kxxxxxxTxTTTTnnn给出.它们是在区间[-1,1]上的带权的正交多项式.(2.4.8)21()1xx第二章插值与拟合.52016)(,188)(,34)(,121)(3552443322xxxxxxxxTxxTxTxT它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与原点对称。前几个第一类Chebyshev多项式如下:第二章插值与拟合（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。Laguerre多项式可由三项递推公式)9.4.2(,,2,1),(12)()21()(1,1)(1,1)(0nxnLnxnLxnxnLxxLxL给出。它们是在区间[0,+∞)上带权的正交多项式。前几个Laguerre多项式如下:()xxe第二章插值与拟合12060060020025)(24967216)(,6189)(,24)(23454234423322xxxxxxLxxxxxLxxxxLxxxL它们的根都是在区间（0，+∞）上的单根。第二章插值与拟合(4)Hermite多项式Hermite多项式可由三项递推公式给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权的正交多项式。前几个Hermite多项式如下：)10.4.2(,2,1),(2)(2)(,1)(,1)(1110nxnHxxHxHxHxHnnn22()xxe.12016032)(,124816)(,128)(,24)(3552443322xxxxHxxxHxxxHxxH它们的根都在区间（-∞，+∞）上的单根，并且与原点对称第二章插值与拟合2.4.3连续函数的最佳平方逼近连续函数空间C[a,b]上定义了内积（2.4.6）就形成了一个内积空间。在Rn空间中任一向量都可用它的线性无关的基表示。类似地，对内积空间任一元素f(x)∈C[a,b]，也可用线性无关的基表示。0100110101(),(),()[,],()()()0(),(),()[,]nnnnnxxxabaxaxaxaaaxxxab定义2.11设在上连续如果当且仅当时成立,则称在上是线性无关的.(,)()()(),,[,]bafgxfxgxdxfgCab第二章插值与拟合例2.17函数组},,1{nxx,其中],[baCxi),,1,0(ni],[ba于线性无关。证明：为零的数线性相关，即存在不全，于设][}{0baxnii，成立，对所有的][0)(10baxxcxccxPnnn有点，而上式说明个的多项式，最多有为次数而)(0)(xPnnxPnn，使，，，nccc10反证法#0点，矛盾。无穷多个第二章插值与拟合0{()}nkkx对函数组的线性无关性,有如下定理.定理2.9在[a,b]上线性无关的充要条件是它的Gramer行列式Gn≠０，其中),(),(),(10xxxn.),(),(),(),(),(),(),(),(),(101111000100nnnnnnnG第二章插值与拟合，即存在不全为零解使),1,0}({njcj),1,0(,0),(0nicjjnji）0),,(0nG证明：必要性线性无关（若niix0)(),,1,0(0),(0nicijnjj，)),((),(0ijnjjixcy即存在不全为零数],[0)(}{0**baxxcycnjjjj，当，使线性相关，矛盾。，于说明][)(0baxnii。故0),,(0nG],,[,0baxy故))(,(),(0xcyyyjnjj从而，有)(0xcynjjj记),,1,0(,0),(0nicjjnji于是，齐次方程组反证法，假设行列式，0),,(0nG},,{10nccc有非零解),(0jnjjyc线性相关，于][)(0baxnii0第二章插值与拟合与题设矛盾。证毕充分性0),,((0nG若))(0线性无关niix于是，存在不全为零数,,,,10nccc,][)(0线性相关，于设baxnii],[,0)()()(1100baxxcxcxcnn使(*)),,1,0(0),(),(),(1100nicccninii，。0,,,10nG故系数矩阵的行列式为零,即上式两端与作内积得到i由于不全为零，说明齐次方程组(*)有非零解,,,,10nccc}{ic第二章插值与拟合01{(),(),()}[,]0,()()0,nijijxxxCabijxxdxijba是正交函数系,即特别地，它的Gramer行列式Gn是对角矩阵。第二章插值与拟合下面我们讨论在区间[a,b]上函数的逼近问题。如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi，yi),就会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据的误差较大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。1.引言第二章插值与拟合yox图2.4-1曲线拟合示意图换句话说:求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小。第二章插值与拟合与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过所有已知