高速公路收费口的设置问题研究

1高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3高速公路收费口的设置问题摘要本文根据题中所给数据，调用matlab统计工具箱得到车辆到达的函数是一个服从参数为1.3的泊松分布，通过对统计到得服务时间数据变换后得出服务时间数据满足以090.0的指数分布。在车流高峰期的时候考虑两种情形：SMM//模型和S个1//MM模型，给出了两种不同模型下的相关数据结果。而后对其中S个1//MM模型，进行了仔细分析，并由它对题中数据做了计算，得到应该设置5个收费口才能满足当下的车辆到达的要求。并用蒙特卡罗模拟法对实际情况模拟，得到1Wq=28.0610，而理论分析值qW=24.603.可见得到的结果与分析一致。最后，向收费站南向收费口提出了建议，在现有的服务效率下，应该增加一个收费口；在收费口不变的要求下，适当提高服务效率。关键词：泊松分布指数分布单路排队多收费口多路排队多收费口4一．问题重述在某高速公路的收费站处，汽车司机常常抱怨在收费口等待时间太长。为此公路管理部门派遣了一个运筹学小组进行实地调查研究。据对高峰时段内该收费站南向车流量调查，每10s到达收费口的车辆情况如表1所示，又该收费站南向现有4个收费口，经测试每个收费口办理一辆车的收费时间如表2所示。要求：（a）对该收费站南向车流到达情况和每个收费口对车辆收费服务情况的概率分布进行拟合并检验；（b）对现设4个收费口的情况下的排队服务情况进行计算，写出分析报告；（c）对改进该收费站南向收费口的服务提出你的建议。表1表2每10s到达的车辆数发生次数01112824334743252867708291101二．模型假设1.在题中认为发生的事件频率代表该事件的发生概率。2.不考虑车辆的外形如长度的影响，通过的时间仅由收费口的效率决定，将其视为理想质点三．符号假设0P：收费口前车辆为0的概率。sL：平均排队长，是收费口前排队的车辆数与正在接受服务的车辆数的数学一个收费口对每辆车收费用时发生频数50t61105t341510t152015t52520t83025t43530t44035t34540t25045t250t05期望。qL：收费口前正在接受服务的车辆数的期望值。sW：车辆在收费口前的逗留时间。qW：车辆在收费口前等待时间的数学期望值。1qW:蒙特卡罗模拟法下的车辆等待时间期望值四．模型建立于求解4.1问题a的模型与求解4.1.1模型的建立根据由每隔10秒统计到得到达收费口的数据，得到它的频率，并画出频率与车俩数量的散点图。如图101234567891000.050.10.150.20.25图1频率与数量图由于高速路上的车到达收费口是随机的而且相互之间是独立的，在很小的时间段内，到达收费口的车两数量与时间无关，只于时间长度成正比。所以可以考虑用泊松分布来车辆的概率分布进行拟合。泊松分布的形式为ekkxpk!......3,2,1,0k调用matlab工具中的poisonfit命令，由样本数据可以得到1.31；又由于在泊松分布中的表示单位时间（统计选定的时间）平均到达的车辆数，那么从样本数据中得出平均到达的车辆数3XE，即32。可以看出两个的结果非常6接近，说明选着是对的。这两个的拟合情况谁更好了，我们分别画出以21,为参数的泊松分布图与原数据比较。如图201234567891000.050.10.150.20.25图2拟合与原数据的比较原数据参数为3.1的分布参数为3的分布由图2可以看出1.31的泊松分布于原数据拟合的很好，而且整个趋势和原数据一致。所以选择参数为3.1的泊松分布来拟合车辆到达的概率。此时1.3!1.3ekkXpk......3,2,1,0k由表2提供的数据，得到它的频率分布函数图，图30510152025303540455000.10.20.30.40.50.60.70.80.91图3频率分布函数图7由频率函数分布图不能直接看出服时间的分布函数，对数据采取一些变换。令;1Tqqzln；as11；1lnsf；因为T=50的时候，s1=0.而此时f将会成为无穷大，所以用0.9999来代替1。此时画出变换后数据的关系图，图405101520253035404550-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10图4变换后的频率分布图可以看出从0到45近似为一条直线，所以将50的这个点去掉，认为它是异常数据。去掉后的数据近似一条直线，可以考虑用指数分布来拟合。调用matlab命令regress，得到近似直线表达式斜率为-0.090.那么原始数据与频率分布的关系为)*090.0exp(1)(ttG拟合的表达式与原数据之间的关系比较图，图505101520253035404500.10.20.30.40.50.60.70.80.91图5原数据比较原数据拟合表达式可以看出，拟合的表达式很符合原数据。所以可以认为每个收费口对车辆收8费服务情况的概率分布函数为指数分布，)*090.0exp(1)(ttG4.1.2拟合检验对于上面得到的两个概率拟合分布，那么这两个拟合分布的效果如何？统计学中用“拟合优度检验”，来对拟合效果进行评估。拟合优度检验的方法有很多种，各有自身的特点与使用的限制。这里我们采用Wilcoxon符号秩次检验法，其检验方法如下。1．把相关样本对应数据之差值按绝对值从小到大作等级排列（注意差值为零时，零不参加等级排列）；如果差值相同，则就取它们的平均秩次；2．在各等级前面添上原来的正负号；3．分别求出带正号的等级和（M+）与带负号的等级和（M-），取两者之中较小的记作T；4．建立假设：H0:M+=M-H1:M+M-5．根据N，M查成对秩和检验表MT表：接受H0TM表：拒绝H0对泊松分布的拟合优度检验，各个数据如表10.0550.045049-0.00995330.140.13965-0.00035770.2150.216460.001461880.2350.22368-0.011322-20.160.173350.01335990.140.10748-0.032521-10.0350.055530.0205310100.010.009529-0.000476-60.0050.003282-0.001725-50.0050.001018-0.003984-4表1泊松分布的数据检验37M,18_M,那么M=18_M，N=10，查符号秩次检验表，双侧检验，805.0M，由于05.0MM，所以拟合接受假设检验H0。即认为此分布拟合对数据拟合的相当好。9同理，可以对指数分布进行检验，各个数据如表20000.4420.36237-0.079632-20.68440.59343-0.090971-10.79710.74076-0.056343-30.83330.83470.001401550.89130.89460.003301770.92030.932790.012494990.94930.957150.007848880.9710.972680.001676660.98550.98258-0.002924-4表2指数分布检验的数据35M，10M，所以10MM，N=9，双侧检验，605.0M由于05.0MM，所以拟合接受假设检验H0，同样认为指数分布对服务时间的拟合相当好。综上可以得到，在高峰时段的车流到达情况概率分布为，1.3!1.3ekkXpk......3,2,1,0k在高峰时段的每个收费口对车辆收费服务情况的概率分布为，)*090.0exp(1)(ttG4.2问题b的分析与求解根据提供的数据，对现有的4个收费口的情况下的排队服务情况分析。高速公路车流到达收费站可以认为是无限的，符合泊松分布，1.3!1.3ekkXpk......3,2,1,0k收费口的排队服务的规则为先到先服务，所有车辆必须通过收费口无损失车流。每个收费口每辆车的收费服务时间是随机的，服从负指数分布分布函数)*090.0exp(1)(ttG对于高速公路收费站服务系统可以分为下列两种情况：单路排队多路收费口，多路排队单路收费口。有排队论的相关知识可以导出它们之间的数学关系式。下面就将分别对这两种服务情况讨论。104.2.1单路排队多路收费口模型在车流高峰期，车流量不大，4个收费口全开放服务的情况下，可以认为车辆在不远处看见那个收费口有空闲就开往哪里接受服务，不然便排成队等待。此时在排队系统稳定下的分布。相关的数学公式如下：ss，11001!!sssnnsnp，01!,psscsnss，201!sssqspL，qsLL，ssLW，qqLW其中psc,表示车辆需要等待的概率。，ss称为收费口服务强度，如s》1，则将会产生堵塞。那么收费口不产生堵塞的条件是s《1，且s越小那么收费口服务工作越空闲。由表中得到的拟合车辆到达概率的函数，是在选取以10秒为单位时间的结果，那么以一秒为单位时间的31.0，服务时间以一秒为单位090.0。得到在该种情况下的数据如表30pqLsLsWqW,sc0.016814.40657.860925.32614.11240.71072表3单路多路收费口下的结果数据从结果中看到车辆需要等待的概率为0.7102，说明汽车司机常常抱怨在收费口等待时间太长的情况是正常的，所以应该考虑在现有的情况下增加收费窗口或者是提高收费口的服务效率。4.2.2多路排队多路收费口的模型在车流高峰期，车辆多路排队下，每个收费口前排一队，车辆进入该队列后不能随意换队。这模型更加符合在高峰期的时候车辆等待交通同行得模型。这个模型类似于单路排队单收费口模型，此时到达每个收费口的车流量431.04321s=0.0775，相关的数学公式，11sL，2qL，1sW，qW，将相关数据带入上面可以得到该模型下的结果，如表4110psLqLsWqW0.138896.25.33898068.889表4多路多收费口的结果数据从表中可以看出，车辆在整个收费口逗留的时间为80秒，而且从来到收费口前到接受服务，车辆平均等待时间68.889秒，超过一分钟。与表3的情况相符，同样说明了汽车司机常常抱怨在收费口等待时间太长的情况是正常的。综上的结果可以得出，该收费站存在问题，现有的服务以及开设的站口数不能很好的满足车流量的到来，所以导致了汽车司机常常抱怨在收费口等待时间太长。那么公路管理部门应该采取措施使得汽车司机们不再抱怨。下面将讨论应该采取何种措施，以及它们之间的相互影响关系。4.2.3合理的收费口数目以及