高等代数北大版2-3

一、行列式定义二、n级行列式的等价定义§2.3n阶行列式一、行列式的定义1.二级行列式11122122aaaa2.三级行列式11221221aaaa111213212223112233122331132132313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa132231122133112332aaaaaaaaa§2.3n阶行列式323122211211aaaaaa333231232221131211aaaaaaaaaD112332aaa312213aaa332112aaa132132aaa112233aaa122331aaa沙路法333231232221131211aaaaaaaaa对角线法§2.3n阶行列式3.n级行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积(1)每一项（1）都按下列规则带有符号：111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1212njjnjaaa当为奇排列时（1）带负号；12njjj当为偶排列时（1）带正号；12njjjn级行列式的代数和，这里为的排列.12njjj1,2,,n§2.3n阶行列式即1121211121()212221212(1)nnnnjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa这里表示对所有1、2、…、n的n级排列求和．12njjj§2.3n阶行列式2)中的数称为行列式D处于111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaija注:第i行第j列的元素，i称为行指标，j称为列指标.3)n级行列式定义展开式中共有n！项．1)行列式常简记为或111212122212nnnnnnaaaaaaaaadet()ija.ija主对角线副对角线§2.3n阶行列式例1计算行列式2143123213321(1)4261211812942(3)§2.3n阶行列式123456例2.10000200003000046!(1234)11223344(1)aaaa(654321)162534435261(1)aaaaaa24720§2.3n阶行列式一般地,1(1)2212(1)nnnndddddd1212nndddddd对角形行列式§2.3n阶行列式类似可得：111212221122000nnnnnnaaaaaaaaa112122112212000nnnnnnaaaaaaaaa上三角形行列式下三角形行列式§2.3n阶行列式例3.已知,求的系数.112111()3211121xxfxxx3x由n级行列式定义，是一个的多项式函数，()fx且最高次幂为,显然含的项有两项:3x3x与(1234)11223344(1)aaaa(1243)11223443(1)aaaa即与3x32x中的系数为-1.()fx3x解:§2.3n阶行列式练习：计算行列式01021)10nn10202)10nn(1)(2)121)(1)!,2)(1)!nnnnn答案：§2.3n阶行列式12121211121()212221212(1)nnnniiiniiiniiinnnnaaaaaaDaaaaaa这里表示对所有1、2、…、n的n级排列和．12niii二、n级行列式的等价定义§2.3n阶行列式证明：按行列式定义有记对于D中任意一项11212()12(1)nnnjjjjnjjjjDaaa1121()1121nnniiiiiniiDaaa112()12(1)nnjjjjnjaaa总有且仅有中的某一项1D与之对应并相等;112()121nniiiiinaaa§2.3n阶行列式反之，对于中任意一项1D也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等．于是D与1D中的项可以一一对应并相等,从而.1DD112()12(1)nnjjjjnjaaa112()121nniiiiinaaa§2.3n阶行列式12121122()()(1)nnnniiijjjijijijaaa111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa类似地，有注：行跟列的地位是对等的。但数学上不好处理。