高等代数北大版2-4

一、行列式的性质二、应用举例§2.4行列式的性质转置行列式112111222212nnnnnnaaaaaaaaa行列式111212122212,nnnnnnaaaaaaDaaa设称为D的转置行列式，记作或.TDD§2.4行列式的性质行列互换，行列式不变，即111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa一、行列式的性质性质1,DD§2.4行列式的性质记det(),ijDb121212()12(1)nnniiiiiniiiiDbbb另一方面，按行列式的等价定义Ｄ可表成证：,,1,2,,ijjibaijn其中按行列式的定义121212()12(1)nnniiiiiiniiiaaa121212()12(1)nnniiiiiiniiiDaaa.DD§2.4行列式的性质行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外．即111112111212121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa推论行列式中某一行（列）为零，则行列式为零．性质2或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于用这个数乘此行列式．ikrikc§2.4行列式的性质若行列式的某一行（列）的元素都是两数111211112112121212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabbbaaaaaa之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，即性质311121112212nnnnnnnaaaabababaaa§2.4行列式的性质如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为0．（所谓两行相同指的是两行元素对应都相等）．性质4设行列式11121121212niiinkkknnnnnaaaaaaDaaaaaa证：中第i行与第k行相同，§2.4行列式的性质,1,2,,,ijkjaajn11212()12(1)ikniknnjjjjjjijkjnjjjjDaaaaa即，11212()12(1)ikniknnjjjjjjkjijnjjjjaaaaa11212()12(1)kinkinnjjjjjjijkjnjjjjaaaaa11212()12(1)kinkinnjjjjjjijkjnjjjjaaaaaD0.D于是，§2.4行列式的性质行列式中两行（列）成比例，则行列式为0.证：由性质2、性质4即得．把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变.证：由性质3、性质5即得．性质5性质6性质7对换行列式中两行（列）位置，行列式反号．ijrkrijckcijrrijcc§2.4行列式的性质111211112112112212121212nniiinikikinknkkknkkkniknnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaarraaaaaa6性质证：§2.4行列式的性质11121121212nknkniiinnnnnaaaaaaaaaaaa1112111112nikinknkiiinnnnnaaaaaaarraaaaa6性质11121121212nkkknikiiinnnnnaaaaaarraaaaaa6性质§2.4行列式的性质例1.计算行列式3112513420111533D说明：计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为上三角形或下三角形，从而算得行列式的值．§2.4行列式的性质nabbbbabbDbbabbbbba例2.计算行列式解：12(1)(1)(1)nnanbbbanbabDcccanbba§2.4行列式的性质11[(1)]11bbbabbanbbabbba1000[(1)]0000000bbbabanbabab1(1)()nanbab§2.4行列式的性质例3.若n级行列式满足nijDa证明：当n为奇数时，0.nD的每行提取-1，得nD证：,jiijaa由有0,1,2,,iiain,,1,2,,jiijaaijn设1211221200,0nnnnnaaaaDaa§2.4行列式的性质(1)nnD∴当n为奇数时，,nnDD1211221200(1)0nnnnnnaaaaDaa1211221200(1)0nnnnnaaaaaa0.nD故(1)nnD§2.4行列式的性质12341111234111111),2).3412111141231111xxyy练习：计算行列式221)1602)xy答案：