高等代数北大版3-1

一、一般线性方程组的基本概念二、消元法解一般线性方程组三、齐次线性方程组§3.1消元法1．一般线性方程组是指形式为(1)11112211211222221122nnnnsssnnsaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb是方程的个数;(1,2,,,1,2,,)ijaisjns12,,,nxxxn的方程组，其中代表个未知量的系数，称为方程组的系数；称为常数项。(1,2,,)ibis一、一般线性方程组的基本概念§3.1消元法2．方程组的解设是个数，如果分别用12,,,nkkkn12,,,nxxx12,,,nkkk代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式,则称有序数组是（1）的一个解.12(,,,)nkkk(1)的解的全体所成集合称为它的解集合．解集合是空集时就称方程组（1）无解．3．同解方程组如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是同解的．§3.1消元法4．方程组的系数矩阵与增广矩阵矩阵111212122212nnsssnaaaaaaAaaa称为方程组（1）的系数矩阵;而矩阵11121121222212nnssssnaaabaaabAbaaa称为方程组（1）的增广矩阵．§3.1消元法1．引例解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得第二个方程减去第一个方程的2倍，二、消元法解一般线性方程组解线性方程组12311112322212323113250xxxxxxxxx12312312322313250xxxxxxxxx第三个方程减去第一个方程的3倍，得§3.1消元法第三个方程减去第二个方程的5倍，得123232323526xxxxxxx1232332339xxxxxx第三个方程乘以，得13123233233xxxxxx§3.1消元法1223503xxxx第一个方程加上第三个方程；第二个方程加上第三个方程，得这样便求得原方程组的解为123503xxx(5,0,3).或§3.1消元法定义线性方程组的初等变换是指下列三种变换①用一个非零的数乘某一个方程；②将一个方程的倍数加到另一个方程上；③交换两个方程的位置．性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解．2．线性方程组的初等变换§3.1消元法11112211211222221122(1)nnnnsssnnsaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb11211122221212211222221122()()()nnnnnsssnnsakaxakaxakaxbkbaxaxaxbaxaxaxb如对方程组（1）作第二种初等变换:简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个方程得到新方程组（1'）．（1'）设是方程组（1）的任一解，则12(,,,)nccc§3.1消元法11112211211222221122nnnnsssnnsacacacbacacacbacacacb112111222212()()()nnnakacakacakac11112212112222()()nnnnacacackacacac12bkb所以也是方程组（1'）的解.12(,,,)nccc于是有同理可证的（1'）任一解也是（1）的解.故方程组（1'）与（1）是同解的.§3.1消元法3．利用初等变换解一般线性方程组（化阶梯方程组）11112211211222221122(1)nnnnsssnnsaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb先检查(1)中的系数，若全为零，11211,,,saaa1x则没有任何限制，即可取任意值，从而方程组1x1x(1)可以看作是的方程组来解．2,,nxx§3.1消元法如果的系数不全为零，不妨设，1x110.a分别把第一个方程的倍加到第i个方程．111iaa(2,,)is(3)111122112222222nnnnssnnsaxaxaxbaxaxbaxaxb于是(1)就变成其中1111,2,,,2,,.iaijijjaaaaisjn§3.1消元法再考虑方程组(4)2222222nnssnnsaxaxbaxaxb即，方程组(3)有解当且仅当方程组(4)有解。(3)是同解的，因此方程组(1)有解当且仅当(4)有解．对方程组(4)重复上面的讨论，并且一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3)而(1)与§3.1消元法这时去掉它们不影响(5)的解．(5)111122111222222100000rrnnrrnnrrrrnnrrcxcxcxcxdcxcxcxdcxcxdd其中0,2,,.iicir方程组(5)中的“０＝０”这样一些恒等式可能不出现而且(1)与(5)是同解的．也可能出现，为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为§3.1消元法考察方程组的解的情况:由Cramer法则，此时(6)有唯一解，从而(1)有唯一解．rn(6)1111221122222nnnnnnnncxcxcxdcxcxdcxdi)若．这时阶梯形方程组为rn其中0,2,,.iicin２°时，方程组(5)有解，从而(1)有解，10rd10rd１°时，方程组(5)无解，从而(1)无解．分两种情况：此时去掉“０＝０”的方程．§3.1消元法此时方程组(7)有无穷多个解，从而(1)有无穷多个解.(7)111122111,111222222,112,11rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrnncxcxcxdcxcxcxcxdcxcxcxdcxcxii)若，这时阶梯形方程组可化为rn其中0,2,,.iicir事实上，任意给一组值，由(7)就唯一1,,rnxx地定出的一组值．1,,rxx§3.1消元法称为一组自由未知量．1,,rnxx而通过1,,rnxx1,,rxx一般地，我们可以把这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，表示出来．４．线性方程组消元法的矩阵表示不妨设线性方程组(1)的增广矩阵11121121222212nnssssnaaabaaabAbaaa经过一系列初等行变换化成阶梯阵§3.1消元法111211,1112222,122,11000000000000000000000rrnrrnrrrrrnrrcccccdccccdcccdd其中0,2,,.iicir10rd１°时，方程组(1)无解．10rd２°时，方程组(1)有解.§3.1消元法且方程组(1)与方程组(7)同解(7)111122111,111222222,112,11rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrnncxcxcxdcxcxcxcxdcxcxcxdcxcx当时，方程组(1)有无穷多解．rn所以，当时，方程组(1)有唯一解；rn（这样，方程组(1)有没有解，以及有怎样的解，都可以通过它的增广矩阵看出。）§3.1消元法例解下列方程组12341234123452724213650xxxxxxxxxxxx5121721421136501365021421512171365007161210143224713650071612100005解：对方程组的增广矩阵作初等行变换从最后一行知，原方程组无解。§3.1消元法例３求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵B进行初等变换2132111311101111B21210014200011111312rrrr§3.1消元法.000002121002110112122143421xxxxx21210014200011112322rrr.02102112010011214321ccxxxx.,21任意常数其中cc24231221121221cxcxcxccx§3.1消元法三、齐次线性方程组的解定理1在齐次线性方程组111122121122221122000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax中，如果，则它必有非零解。sn§3.1消元法例:求解齐次线性方程组.0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx解341122121221A463046301221施行初等行变换：对系数矩阵A13122rrrr§3.1消元法0000342101221)3(223rrr212rr00003421035201即得与原方程组同解的方程组,0342,0352432431xxxxxx463046301221§3.1消元法,,,342,3522413212211cxcxccxccx).,(43可任意取值xx由此即得,342,352432431xxxxxx形式，把它写成通常的参数令2413,cxcx.1034350122214321ccxxxx§3.1消元法(1)1231231232314254241xxxxxxxxx(2)1231231232314254240xxxxxxxxx练习解下列方程组